Номер 4.33, страница 24 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.33, страница 24.

Условие.

4.33. Человек прыгает в воду с высоты $h = 10$ м. На какую глубину $\text{H}$ он бы при этом погрузился, если бы силы сопротивления воздуха и воды исчезли? Масса человека $m = 60$ кг, объем его тела $V = 66$ л.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$h = 10$ м

$m = 60$ кг

$V = 66$ л = $66 \cdot 10^{-3}$ м$^3 = 0.066$ м$^3$

Плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м$^3$

Найти:

$\text{H}$ - ?

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии с учётом работы внешних сил. В данном случае такой силой является выталкивающая сила Архимеда, действующая на человека в воде. Силами сопротивления воздуха и воды по условию задачи пренебрегаем.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность воды.

1. Начальная механическая энергия человека ($E_1$) находится, когда он стоит на высоте $\text{h}$ над водой. В этот момент его скорость равна нулю, поэтому он обладает только потенциальной энергией:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh + 0 = mgh$

2. Конечная механическая энергия человека ($E_2$) соответствует моменту, когда он достиг максимальной глубины погружения $\text{H}$. В этой точке его скорость снова становится равной нулю. Так как человек находится ниже нулевого уровня, его потенциальная энергия отрицательна:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = -mgH + 0 = -mgH$

3. Изменение полной механической энергии системы ($\Delta E$) равно работе неконсервативных сил. В нашем случае, при движении тела в воде, на него действует выталкивающая сила Архимеда $F_A$. Работа этой силы $W_A$ совершается на пути $\text{H}$ и является отрицательной, так как сила направлена вверх, а перемещение — вниз.

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$

$W_A = -F_A \cdot H = -(\rho_в g V) H$

4. Согласно теореме об изменении механической энергии:

$\Delta E = W_A$

$E_2 - E_1 = W_A$

$-mgH - mgh = -(\rho_в g V) H$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знаков минус:

$mgH + mgh = (\rho_в g V) H$

Вынесем $\text{mg}$ за скобки в левой части и сократим обе части на $\text{g}$:

$m(H+h) = \rho_в V H$

Теперь решим это уравнение относительно $\text{H}$:

$mH + mh = \rho_в V H$

$mh = \rho_в V H - mH$

$mh = H (\rho_в V - m)$

$H = \frac{mh}{\rho_в V - m}$

5. Подставим числовые значения из условия в полученную формулу:

$H = \frac{60 \cdot 10}{1000 \cdot 0.066 - 60} = \frac{600}{66 - 60} = \frac{600}{6} = 100$ м.

Ответ: человек погрузился бы на глубину $H = 100$ м.