Номер 4.37, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.37, страница 25.

Условие.

4.37*. Вследствие нецентрального удара бильярдного шара о такой же неподвижный шар эти шары разлетаются всегда под одним и тем же углом. Каков этот угол? Столкновение бильярдных шаров можно считать упругим.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого бильярдного шара: $m_1 = m$
Масса второго бильярдного шара: $m_2 = m$
Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1$
Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2 = 0$
Столкновение является упругим и нецентральным.

Найти:

Угол $\alpha$ между векторами скоростей шаров $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ после столкновения.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух бильярдных шаров. Так как столкновение происходит без действия внешних сил (систему можно считать замкнутой), для нее выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии (поскольку удар по условию упругий).

1. Закон сохранения импульса.
Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v'}_1 + m_2\vec{v'}_2$
Поскольку массы шаров одинаковы ($m_1=m_2=m$) и второй шар изначально покоился ($\vec{v}_2=0$), уравнение принимает вид: $m\vec{v}_1 = m\vec{v'}_1 + m\vec{v'}_2$
Разделив обе части на массу $\text{m}$, получаем векторное соотношение для скоростей: $\vec{v}_1 = \vec{v'}_1 + \vec{v'}_2$

2. Закон сохранения кинетической энергии.
Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения: $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1{v'}_1^2 + \frac{1}{2}m_2{v'}_2^2$
С учетом начальных условий и равенства масс: $\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m{v'}_1^2 + \frac{1}{2}m{v'}_2^2$
Умножив обе части на $\frac{2}{m}$, получаем скалярное соотношение для модулей скоростей: $v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2$

Теперь используем полученные уравнения. Возведем векторное уравнение закона сохранения импульса в квадрат (скалярно умножим его само на себя): $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = (\vec{v'}_1 + \vec{v'}_2) \cdot (\vec{v'}_1 + \vec{v'}_2)$
Раскроем скалярное произведение суммы векторов: $v_1^2 = \vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_1 + 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2) + \vec{v'}_2 \cdot \vec{v'}_2$
$v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2 + 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2)$

Подставим в это выражение уравнение, полученное из закона сохранения энергии ($v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2$): ${v'}_1^2 + {v'}_2^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2 + 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2)$
Вычитая из обеих частей ${v'}_1^2 + {v'}_2^2$, получаем: $0 = 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2)$
Следовательно, скалярное произведение векторов скоростей после столкновения равно нулю: $\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2 = 0$

Скалярное произведение двух векторов определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}$, где $\alpha$ — угол между векторами. Таким образом, ${v'}_1 {v'}_2 \cos{\alpha} = 0$.
Поскольку удар нецентральный, оба шара после столкновения придут в движение, то есть их скорости ${v'}_1$ и ${v'}_2$ не равны нулю. Значит, для выполнения равенства необходимо, чтобы $\cos{\alpha} = 0$. Это условие выполняется при угле $\alpha = 90^{\circ}$.

Геометрически уравнения $\vec{v}_1 = \vec{v'}_1 + \vec{v'}_2$ и $v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2$ означают, что векторы скоростей $\vec{v}_1$, $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ образуют треугольник, для которого выполняется теорема Пифагора. Следовательно, этот треугольник является прямоугольным, где $\vec{v}_1$ — гипотенуза, а $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ — катеты. Угол между катетами (векторами $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$) прямой.

Ответ: Угол, под которым разлетаются шары, равен $90^{\circ}$.