Номер 4.43, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.43, страница 25.

Условие.

4.43**. На гладкой горизонтальной поверхности покоит-ся гладкая горка (см. рисунок). На горку налетает скользящее по поверхности небольшое тело. Каким может быть результат столкновения? При движении по горке тело не отрывается от нее.

Решение.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из тела массы $\text{m}$ и горки массы $\text{M}$. Поскольку все поверхности гладкие, трение отсутствует. Внешние силы, действующие на систему (сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны горизонтальной поверхности), уравновешены в вертикальном направлении. Следовательно, в горизонтальном направлении система является замкнутой, и для нее выполняются закон сохранения горизонтальной проекции импульса и закон сохранения механической энергии.

Исходные данные:

• Начальная скорость тела: $\text{v}$
• Начальная скорость горки: $\text{0}$
• Начальный импульс системы (горизонтальная проекция): $P_x = mv$
• Начальная механическая энергия системы: $E = \frac{1}{2}mv^2$

Результат столкновения зависит от того, сможет ли тело преодолеть горку. Критическим моментом является достижение телом вершины горки на высоте $\text{H}$. В этот момент тело и горка должны иметь одинаковую горизонтальную скорость, которую мы обозначим $\text{u}$. В этот момент вертикальная составляющая скорости тела относительно горки равна нулю.

Найдем критическую начальную скорость $v_{кр}$, при которой тело едва достигает вершины горки.

Из закона сохранения импульса:

$mv_{кр} = (m+M)u$

Отсюда общая скорость на вершине: $u = \frac{mv_{кр}}{m+M}$.

Из закона сохранения энергии:

$\frac{1}{2}mv_{кр}^2 = \frac{1}{2}(m+M)u^2 + mgH$

Подставим выражение для $\text{u}$ в уравнение энергии:

$\frac{1}{2}mv_{кр}^2 = \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{mv_{кр}}{m+M}\right)^2 + mgH$

$\frac{1}{2}mv_{кр}^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2v_{кр}^2}{m+M} + mgH$

$mgH = \frac{1}{2}mv_{кр}^2 \left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = \frac{1}{2}mv_{кр}^2 \left(\frac{M}{m+M}\right)$

Отсюда находим квадрат критической скорости:

$v_{кр}^2 = \frac{2gH(m+M)}{M}$

Теперь рассмотрим возможные исходы в зависимости от начальной скорости $\text{v}$.

1. Начальная скорость недостаточна для преодоления горки ($v < v_{кр}$)

В этом случае тело поднимается на некоторую высоту $h_{max} < H$, а затем соскальзывает обратно. Происходит упругое взаимодействие, аналогичное одномерному упругому столкновению. Обозначим конечные скорости тела и горки как $v_m'$ и $v_M'$. Из законов сохранения импульса и энергии:

$mv = mv_m' + Mv_M'$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v_m')^2 + \frac{1}{2}M(v_M')^2$

Решением этой системы уравнений (для случая отскока) являются:

$v_m' = \frac{m-M}{m+M}v$

$v_M' = \frac{2m}{m+M}v$

Тело отскочит от горки. В зависимости от соотношения масс, тело может двигаться влево ($m < M$), остановиться ($m = M$) или продолжить движение вправо, но медленнее горки ($m > M$).

2. Начальная скорость достаточна для преодоления горки ($v > v_{кр}$)

В этом случае тело переезжает через вершину горки и соскальзывает с другой стороны. Конечные скорости $v_m''$ и $v_M''$ также должны удовлетворять законам сохранения импульса и энергии. У системы уравнений, приведенной выше, есть второе, "тривиальное" решение:

$v_m'' = v$

$v_M'' = 0$

Физически это решение означает, что после взаимодействия система возвращается в исходное состояние (скорости тел становятся такими же, как и были до взаимодействия). Это происходит потому, что при проезде через симметричную горку суммарный импульс, переданный горке телом, равен нулю. На подъеме тело толкает горку вперед, а на спуске — тормозит ее. В результате горка остается неподвижной, а тело продолжает движение со своей первоначальной скоростью.

3. Начальная скорость равна критической ($v = v_{кр}$)

В этом пограничном случае тело достигает вершины горки и останавливается на ней (его относительная скорость по отношению к горке становится равной нулю). После этого тело и горка движутся вместе как единое целое с общей скоростью:

$u = \frac{mv}{m+M}$

Это соответствует абсолютно неупругому столкновению на вершине горки.

Ответ:

Результат столкновения зависит от соотношения начальной кинетической энергии тела и высоты горки. Существует три возможных исхода:

1. Если начальная скорость тела $\text{v}$ меньше критической, то есть $v^2 < \frac{2gH(m+M)}{M}$, тело не сможет преодолеть горку и соскользнет назад. Конечные скорости тела и горки будут:

$v_{тела} = \frac{m-M}{m+M}v$

$v_{горки} = \frac{2m}{m+M}v$

2. Если начальная скорость тела $\text{v}$ больше критической, то есть $v^2 > \frac{2gH(m+M)}{M}$, тело преодолеет горку. В результате горка останется неподвижной, а тело продолжит движение со своей первоначальной скоростью:

$v_{тела} = v$

$v_{горки} = 0$

3. Если начальная скорость тела $\text{v}$ в точности равна критической, $v^2 = \frac{2gH(m+M)}{M}$, тело достигнет вершины горки и останется на ней. Тело и горка будут двигаться вместе как единое целое с общей скоростью:

$u = \frac{mv}{m+M}$