Номер 4.47, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.47, страница 26.

Условие.

4.47*. Докажите, что кинетическую энергию системы движущихся материальных точек можно представить в виде $W = \frac{M v_C^2}{2} + W_{ЦМ}$, где $\text{M}$ — суммарная масса всех материальных точек, $v_C$ — скорость центра масс системы точек, $W_{ЦМ}$ — кинетическая энергия материальных точек в системе отсчета их центра масс.

Решение.

Решение 2.

Решение:

Рассмотрим систему из $\text{N}$ материальных точек. Обозначим массу $\text{i}$-й точки как $m_i$, а ее скорость в некоторой инерциальной системе отсчета (ИСО) как $\vec{v}_i$.

Полная кинетическая энергия системы в данной ИСО определяется как сумма кинетических энергий всех точек:

$W = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i v_i^2}{2}$

Скорость центра масс системы $\vec{v}_c$ по определению равна:

$\vec{v}_c = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i}{M}$

где $M = \sum_{i=1}^{N} m_i$ — полная масса системы.

Скорость любой $\text{i}$-й точки $\vec{v}_i$ в ИСО можно представить как сумму скорости центра масс $\vec{v}_c$ и скорости этой точки относительно центра масс $\vec{v}'_i$ (в системе отсчета центра масс, СЦМ):

$\vec{v}_i = \vec{v}_c + \vec{v}'_i$

Подставим это выражение в формулу для кинетической энергии. Учтем, что квадрат скорости $v_i^2$ является скалярным произведением вектора скорости на себя: $v_i^2 = \vec{v}_i \cdot \vec{v}_i$.

$W = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v}_c + \vec{v}'_i) \cdot (\vec{v}_c + \vec{v}'_i)$

Раскроем скалярное произведение:

$W = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v}_c \cdot \vec{v}_c + 2\vec{v}_c \cdot \vec{v}'_i + \vec{v}'_i \cdot \vec{v}'_i) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (v_c^2 + 2\vec{v}_c \cdot \vec{v}'_i + {v'}_i^2)$

Разобьем сумму на три слагаемых:

$W = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_c^2 + \sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v}_c \cdot \vec{v}'_i) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i {v'}_i^2$

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. Первое слагаемое. Так как $v_c$ является константой для всех точек системы, ее можно вынести за знак суммы:

$\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_c^2 = \frac{1}{2} v_c^2 \sum_{i=1}^{N} m_i = \frac{Mv_c^2}{2}$

Это кинетическая энергия поступательного движения системы как целого со скоростью ее центра масс.

2. Третье слагаемое. По определению, это кинетическая энергия материальных точек в системе отсчета их центра масс:

$\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i {v'}_i^2 = W_{цм}$

3. Второе (смешанное) слагаемое. Вынесем постоянный вектор $\vec{v}_c$ за знак суммы:

$\sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v}_c \cdot \vec{v}'_i) = \vec{v}_c \cdot \left( \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}'_i \right)$

Выражение в скобках $\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}'_i$ — это суммарный импульс системы в СЦМ. Докажем, что он равен нулю. Из определения скорости центра масс имеем $M\vec{v}_c = \sum m_i \vec{v}_i$. Подставив сюда $\vec{v}_i = \vec{v}_c + \vec{v}'_i$, получим:

$M\vec{v}_c = \sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v}_c + \vec{v}'_i) = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_c + \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}'_i$

$M\vec{v}_c = \vec{v}_c \sum_{i=1}^{N} m_i + \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}'_i = M\vec{v}_c + \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}'_i$

Из этого уравнения следует, что $\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}'_i = \vec{0}$.

Таким образом, второе слагаемое равно нулю: $\vec{v}_c \cdot \vec{0} = 0$.

Объединяя все три слагаемых, получаем итоговое выражение для полной кинетической энергии:

$W = \frac{Mv_c^2}{2} + 0 + W_{цм} = \frac{Mv_c^2}{2} + W_{цм}$

Это утверждение известно как теорема Кёнига о кинетической энергии.

Ответ:

Требуемое равенство $W = \frac{Mv_c^2}{2} + W_{цм}$ доказано.