Номер 4.45, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.45, страница 26.

Условие.

4.45*. Два упругих шара массами $m_1 = 200 \text{ г}$ и $m_2 = 100 \text{ г}$ подвешены рядом так, что их центры находятся на одном уровне. Первый шар отклоняют так, что он поднимается на высоту $H = 18 \text{ см}$, и отпускают. На какую высоту поднимется каждый из шаров после удара?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 200$ г

$m_2 = 100$ г

$H = 18$ см

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.2$ кг

$m_2 = 0.1$ кг

$H = 0.18$ м

Найти:

$h_1, h_2$ - высоты, на которые поднимутся шары после удара.

Решение:

1. Сначала найдем скорость первого шара $v_1$ в момент перед соударением. Второй шар покоится, поэтому его начальная скорость $v_2 = 0$. Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия первого шара, поднятого на высоту $\text{H}$, полностью переходит в его кинетическую энергию в нижней точке (в момент перед ударом):

$m_1 g H = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости:

$v_1^2 = 2 g H$

2. Так как столкновение шаров упругое, для системы из двух шаров выполняются одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров после столкновения как $u_1$ и $u_2$.

Закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Поскольку $v_2 = 0$, уравнение принимает вид:

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ (1)

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Поскольку $v_2 = 0$, уравнение принимает вид:

$m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2$ (2)

3. Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения скоростей $u_1$ и $u_2$. Известно, что решение этой системы для абсолютно упругого удара имеет вид:

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

$u_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

4. После соударения каждый шар поднимется на высоту, определяемую его кинетической энергией. По закону сохранения энергии для каждого шара в отдельности:

Для первого шара:

$\frac{m_1 u_1^2}{2} = m_1 g h_1 \Rightarrow h_1 = \frac{u_1^2}{2g}$

Подставляем выражение для $u_1$ и $v_1^2 = 2gH$:

$h_1 = \frac{1}{2g} \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 \right)^2 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 \frac{v_1^2}{2g} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 H$

Для второго шара:

$\frac{m_2 u_2^2}{2} = m_2 g h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{u_2^2}{2g}$

Подставляем выражение для $u_2$ и $v_1^2 = 2gH$:

$h_2 = \frac{1}{2g} \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 \right)^2 = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 \frac{v_1^2}{2g} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 H$

5. Подставим числовые значения и вычислим высоты.

Высота подъема первого шара:

$h_1 = \left( \frac{0.2 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}}{0.2 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}} \right)^2 \cdot 0.18 \text{ м} = \left( \frac{0.1}{0.3} \right)^2 \cdot 0.18 \text{ м} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 0.18 \text{ м} = \frac{1}{9} \cdot 0.18 \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Высота подъема второго шара:

$h_2 = \left( \frac{2 \cdot 0.2 \text{ кг}}{0.2 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}} \right)^2 \cdot 0.18 \text{ м} = \left( \frac{0.4}{0.3} \right)^2 \cdot 0.18 \text{ м} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 \cdot 0.18 \text{ м} = \frac{16}{9} \cdot 0.18 \text{ м} = 16 \cdot 0.02 \text{ м} = 0.32 \text{ м}$

Переведем полученные значения в сантиметры для наглядности: $h_1 = 2$ см, $h_2 = 32$ см.

Ответ: после удара первый шар поднимется на высоту $h_1 = 2$ см, а второй шар поднимется на высоту $h_2 = 32$ см.