Номер 4.26, страница 23 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.26, страница 23.

Условие.

4.26*. Обезьяна качалась на длинной тонкой лиане, причем максимальный угол отклонения лианы от вертикали был равен $\alpha$. Когда обезьяна находилась в нижней точке траектории, лиана случайно зацепилась серединой за сук. Каким будет теперь максимальный угол $\beta$ отклонения лианы от вертикали, если $\alpha < 60^\circ$? Что изменится, если $60^\circ < \alpha < 90^\circ$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальный максимальный угол отклонения лианы: $\alpha$

Конечное плечо вращения (длина лианы) вдвое меньше начального.

Найти:

1. Новый максимальный угол отклонения $\beta$ при условии $\alpha \le 60^\circ$.

2. Что изменится и каким будет угол $\beta$ при условии $60^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Обезьяну будем считать материальной точкой, а лиану — нерастяжимой и невесомой нитью.

1. Движение до зацепа.

Пусть начальная длина лианы равна $\text{L}$, а масса обезьяны — $\text{m}$. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в нижней точке траектории. Когда обезьяна находится на максимальной высоте, отклонившись на угол $\alpha$, ее скорость равна нулю. Высота подъема относительно нижней точки равна $h_1 = L - L\cos\alpha = L(1-\cos\alpha)$. Полная механическая энергия в этот момент равна потенциальной энергии:

$E_1 = mgh_1 = mgL(1-\cos\alpha)$

В нижней точке траектории высота $h=0$, а скорость максимальна ($v_{max}$). Полная энергия равна кинетической энергии:

$E_2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$, откуда:

$mgL(1-\cos\alpha) = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

Скорость в нижней точке: $v_{max}^2 = 2gL(1-\cos\alpha)$.

2. Движение после зацепа.

В нижней точке лиана зацепляется за сук серединой. Новый центр вращения смещается, и эффективная длина лианы становится $L' = L/2$. Скорость обезьяны в момент зацепа не меняется и равна $v_{max}$. Эта скорость является начальной для второго этапа движения.

Обезьяна начинает подниматься по дуге окружности радиусом $L'$. Максимальный угол отклонения $\beta$ будет достигнут на высоте $h_2$, где скорость снова станет равной нулю. Высота $h_2$ относительно нижней точки равна $h_2 = L' - L'\cos\beta = \frac{L}{2}(1-\cos\beta)$.

Полная энергия в нижней точке (сразу после зацепа) равна $E_3 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgL(1-\cos\alpha)$.

Полная энергия в верхней точке новой траектории: $E_4 = mgh_2 = mg\frac{L}{2}(1-\cos\beta)$.

По закону сохранения энергии $E_3 = E_4$:

$mgL(1-\cos\alpha) = mg\frac{L}{2}(1-\cos\beta)$

$2(1-\cos\alpha) = 1-\cos\beta$

Отсюда находим связь между углами $\alpha$ и $\beta$:

$\cos\beta = 2\cos\alpha - 1$

Это соотношение справедливо только в том случае, если лиана на всем пути до верхней точки остается натянутой. Сила натяжения лианы $\text{T}$ должна быть неотрицательной ($T \ge 0$).

3. Анализ силы натяжения.

Запишем второй закон Ньютона для обезьяны в проекции на радиальное направление в произвольной точке второго этапа движения (угол $\theta$):

$T - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{L'}$

где $\text{v}$ — скорость на угле $\theta$. Найдем $v^2$ из закона сохранения энергии для второго этапа:

$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL'(1-\cos\theta)$

$mgL(1-\cos\alpha) = \frac{1}{2}mv^2 + mg\frac{L}{2}(1-\cos\theta)$

$v^2 = 2gL(1-\cos\alpha) - gL(1-\cos\theta) = gL(1 - 2\cos\alpha + \cos\theta)$

Подставим $v^2$ и $L'=L/2$ в уравнение для натяжения:

$T = mg\cos\theta + \frac{mgL(1 - 2\cos\alpha + \cos\theta)}{L/2} = mg\cos\theta + 2mg(1 - 2\cos\alpha + \cos\theta)$

$T = mg(3\cos\theta - 4\cos\alpha + 2)$

Лиана останется натянутой, если $T \ge 0$ на всей траектории. Минимальное значение натяжение имеет в верхней точке, где $\cos\theta$ минимален. Если обезьяна достигает точки, где $v=0$ (угол $\beta$), то натяжение в этой точке будет $T(\beta) = mg(3\cos\beta - 4\cos\alpha + 2)$. Подставив $\cos\beta = 2\cos\alpha - 1$, получим:

$T(\beta) = mg(3(2\cos\alpha - 1) - 4\cos\alpha + 2) = mg(6\cos\alpha - 3 - 4\cos\alpha + 2) = mg(2\cos\alpha - 1)$

Условие $T(\beta) \ge 0$ выполняется, если $2\cos\alpha - 1 \ge 0$, то есть $\cos\alpha \ge 1/2$. Для углов в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$ это соответствует условию $\alpha \le 60^\circ$.

Каким будет теперь максимальный угол $\beta$ отклонения лианы от вертикали, если $\alpha \le 60^\circ$?

Как показано выше, при $\alpha \le 60^\circ$ натяжение лианы в верхней точке траектории неотрицательно. Это означает, что обезьяна достигает высоты, где ее скорость обращается в ноль, и лиана при этом не провисает. Следовательно, полученная из закона сохранения энергии формула справедлива.

$\cos\beta = 2\cos\alpha - 1$

Например, если $\alpha = 60^\circ$, то $\cos\alpha = 1/2$, и $\cos\beta = 2(1/2) - 1 = 0$, что соответствует $\beta = 90^\circ$.

Ответ: Если $\alpha \le 60^\circ$, максимальный угол отклонения будет $\beta = \arccos(2\cos\alpha - 1)$.

Что изменится, если $60^\circ < \alpha < 90^\circ$?

В этом случае $\cos\alpha < 1/2$, и величина $2\cos\alpha - 1$ становится отрицательной. Это означает, что натяжение $T(\beta)$ в теоретической верхней точке (где $v=0$) было бы отрицательным, что физически невозможно для лианы.

Изменится то, что обезьяна не достигнет точки, где ее скорость равна нулю. Лиана провиснет раньше, в тот момент, когда сила натяжения станет равной нулю ($T=0$). После этого обезьяна будет двигаться по параболической траектории как тело, брошенное под углом.

Максимальный угол отклонения лианы $\beta$ будет соответствовать углу, при котором натяжение обращается в ноль. Найдем этот угол из условия $T=0$:

$T = mg(3\cos\beta - 4\cos\alpha + 2) = 0$

$3\cos\beta = 4\cos\alpha - 2$

$\cos\beta = \frac{4\cos\alpha - 2}{3}$

Именно этот угол и будет максимальным углом отклонения лианы.

Ответ: Если $60^\circ < \alpha < 90^\circ$, то изменится характер движения: обезьяна не достигнет точки полной остановки, так как лиана провиснет раньше. Максимальный угол отклонения лианы будет определяться моментом, когда ее натяжение становится равным нулю, и будет равен $\beta = \arccos\left(\frac{4\cos\alpha - 2}{3}\right)$.