Номер 4.20, страница 22 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.20, страница 22.

Условие.

4.20. Автомобиль может удерживаться с помощью тормозов на участке горной дороги с наклоном, не превышающим $\alpha = 30^\circ$. Каков тормозной путь $\text{s}$ этого автомобиля на горизонтальном участке такой же дороги при скорости $v = 72 \text{ км/ч}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Максимальный угол наклона $\alpha = 30^{\circ}$

Скорость автомобиля $v = 72 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

Тормозной путь $\text{s}$.

Решение:

Сначала рассмотрим условие, при котором автомобиль удерживается на наклонной плоскости. В этом случае автомобиль находится в состоянии покоя, и сумма всех действующих на него сил равна нулю. На автомобиль действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и тормозная сила, которая равна силе трения покоя $\vec{F}_{\text{тр}}$.

Введем систему координат, направив ось OX параллельно наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей. Запишем уравнения равновесия в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OY: $N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha$

Проекция на ось OX: $mg\sin\alpha - F_{\text{тр}} = 0 \implies F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha$

Поскольку $\alpha = 30^{\circ}$ – это максимальный угол, при котором автомобиль может удерживаться, сила трения в этом случае достигает своего максимального значения: $F_{\text{тр}} = F_{\text{тр.max}} = \mu N$, где $\mu$ – коэффициент трения между шинами и дорогой.

Приравнивая выражения для силы трения и подставляя выражение для $\text{N}$, получаем:

$\mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha$

Отсюда мы можем выразить коэффициент трения для данной дороги:

$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Теперь рассмотрим движение автомобиля на горизонтальном участке этой же дороги. При торможении на автомобиль действует сила трения скольжения $F_{\text{торм}}$, которая сообщает ему ускорение (замедление) $\text{a}$. По второму закону Ньютона:

$F_{\text{торм}} = ma$

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $N'$ равна силе тяжести $N' = mg$. Сила трения скольжения (тормозная сила) определяется как $F_{\text{торм}} = \mu N' = \mu mg$. Подставим найденное ранее выражение для коэффициента трения $\mu$:

$F_{\text{торм}} = (\tan\alpha)mg$

Тогда ускорение автомобиля при торможении равно:

$ma = mg\tan\alpha \implies a = g\tan\alpha$

Для нахождения тормозного пути $\text{s}$ используем формулу из кинематики, связывающую начальную и конечную скорости, ускорение и путь: $v_к^2 - v_н^2 = 2a's$. В нашем случае начальная скорость $v_н = v$, конечная скорость $v_к = 0$, а проекция ускорения на направление движения $a' = -a$.

$0^2 - v^2 = 2(-a)s \implies v^2 = 2as$

Отсюда тормозной путь:

$s = \frac{v^2}{2a} = \frac{v^2}{2g\tan\alpha}$

Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$s = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \tan(30^{\circ})} = \frac{400}{19.6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \approx \frac{400}{19.6 \cdot 0.577} \approx \frac{400}{11.31} \approx 35.4 \text{ м}$

Ответ:

Тормозной путь этого автомобиля на горизонтальном участке дороги составляет $s \approx 35.4 \text{ м}$.