Номер 4.16, страница 22 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.16, страница 22.

Условие.

4.16. Автомобиль массой $M = 2 \text{ т}$ разгоняется с места, въезжая на гору с уклоном 0,02. Коэффициент сопротивления $\mu = 0,05$. Автомобиль набирает скорость $v = 97,2 \text{ км/ч}$ на участке длиной $s = 100 \text{ м}$. Какую среднюю мощность $P_{\text{ср}}$ развивает двигатель?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$M = 2 \text{ т}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (разгоняется с места)

$k = 0,02$ (уклон)

$\mu = 0,05$

$v = 97,2 \text{ км/ч}$

$s = 100 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$M = 2 \cdot 1000 = 2000 \text{ кг}$

$v = 97,2 \cdot \frac{1000}{3600} = 27 \text{ м/с}$

Найти:

$P_{ср}$

Решение:

Работу, совершаемую двигателем, можно найти с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии автомобиля равно сумме работ всех сил, действующих на него:

$\Delta E_к = A_{тяг} + A_g + A_{сопр}$

где $\Delta E_к$ — изменение кинетической энергии, $A_{тяг}$ — работа силы тяги двигателя, $A_g$ — работа силы тяжести, $A_{сопр}$ — работа силы сопротивления.

1. Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_к = E_{к2} - E_{к1} = \frac{Mv^2}{2} - \frac{Mv_0^2}{2}$

Так как автомобиль начинает движение с места ($v_0 = 0$), то:

$\Delta E_к = \frac{Mv^2}{2} = \frac{2000 \text{ кг} \cdot (27 \text{ м/с})^2}{2} = 1000 \cdot 729 = 729000 \text{ Дж}$

2. Работа силы тяжести. При движении на гору сила тяжести совершает отрицательную работу.

$A_g = -Mgh$

Высоту подъема $\text{h}$ можно найти через уклон $\text{k}$. Для малых углов уклон $k = \tan\alpha \approx \sin\alpha$. Тогда $h = s \cdot \sin\alpha \approx s \cdot k$.

$A_g = -Mgsk = -2000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м} \cdot 0,02 = -39200 \text{ Дж}$

3. Работа силы сопротивления. Сила сопротивления направлена против движения, поэтому её работа отрицательна.

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s$

Сила сопротивления $F_{сопр}$ пропорциональна силе нормальной реакции $\text{N}$: $F_{сопр} = \mu N$. На наклонной плоскости $N = Mg\cos\alpha$. Для малого уклона $\cos\alpha \approx 1$, поэтому $F_{сопр} \approx \mu Mg$.

$A_{сопр} = -\mu Mgs = -0,05 \cdot 2000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м} = -98000 \text{ Дж}$

4. Работа силы тяги двигателя $A_{тяг}$:

$A_{тяг} = \Delta E_к - A_g - A_{сопр} = 729000 \text{ Дж} - (-39200 \text{ Дж}) - (-98000 \text{ Дж}) = 729000 + 39200 + 98000 = 866200 \text{ Дж}$

5. Средняя мощность $P_{ср}$ — это отношение работы к времени, за которое она была совершена:

$P_{ср} = \frac{A_{тяг}}{t}$

Время движения $\text{t}$ можно найти, предположив, что движение было равноускоренным. Тогда путь $\text{s}$ равен:

$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{v}{2} \cdot t$

Отсюда время:

$t = \frac{2s}{v} = \frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{27 \text{ м/с}} \approx 7,41 \text{ с}$

6. Вычисляем среднюю мощность:

$P_{ср} = \frac{866200 \text{ Дж}}{7,41 \text{ с}} \approx 116937 \text{ Вт}$

Переведем в киловатты: $116937 \text{ Вт} \approx 117 \text{ кВт}$.

Ответ: средняя мощность, развиваемая двигателем, составляет примерно $117 \text{ кВт}$.