Номер 4.15, страница 22 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.15, страница 22.

Условие.

4.15*. Баржа плывет по реке со скоростью v. Когда она проплывает под мостом, на нее плавно опускают ящик массой m. Ящик скользит по барже и останавливается, оставив след длиной L. Найдите полную работу A сил трения:

а) в системе отсчета, связанной с баржей;

б) в системе отсчета, связанной с Землей.

Коэффициент трения между ящиком и баржей равен $\mu$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость баржи: $\text{v}$

Масса ящика: $\text{m}$

Длина следа (путь скольжения ящика по барже): $\text{L}$

Коэффициент трения: $\mu$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Все величины даны в буквенном виде и предполагаются в согласованных единицах, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

a) Полную работу сил трения $A_a$ в системе отсчета, связанной с баржей.

б) Полную работу сил трения $A_b$ в системе отсчета, связанной с Землей.

Решение:

Сила трения скольжения, действующая между ящиком и баржей, по модулю равна $F_{тр} = \mu N$. Поскольку ящик опускают на горизонтальную поверхность баржи, сила нормальной реакции $\text{N}$ равна силе тяжести ящика, $N=mg$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg$.

По третьему закону Ньютона, сила трения, действующая на ящик со стороны баржи ($\vec{F}_{тр,я}$), равна по модулю и противоположна по направлению силе трения, действующей на баржу со стороны ящика ($\vec{F}_{тр,б}$): $\vec{F}_{тр,я} = -\vec{F}_{тр,б}$.

a) в системе отсчета, связанной с баржей

Полная работа сил трения $A_a$ есть сумма работы силы трения, совершенной над ящиком ($A_{тр,я}$), и работы силы трения, совершенной над баржей ($A_{тр,б}$).

$A_a = A_{тр,я} + A_{тр,б}$

В системе отсчета, связанной с баржей, баржа неподвижна. Следовательно, перемещение точек приложения силы трения к барже равно нулю. Поэтому работа силы трения, действующей на баржу, равна нулю:

$A_{тр,б} = 0$

Рассмотрим движение ящика. В момент, когда ящик опускают на баржу, его скорость относительно Земли равна нулю, а баржа движется со скоростью $\text{v}$. Следовательно, начальная скорость ящика относительно баржи равна $-v$. Ящик скользит по барже, оставляя след длиной $\text{L}$, и останавливается. Это означает, что перемещение ящика относительно баржи равно $\text{L}$.

Сила трения, действующая на ящик со стороны баржи, направлена против относительного движения. Начальная относительная скорость ящика направлена против движения баржи, значит, сила трения $\vec{F}_{тр,я}$ направлена в сторону движения баржи. Перемещение ящика $\vec{S}_{отн}$ относительно баржи направлено против движения баржи. Таким образом, векторы силы трения, действующей на ящик, и его перемещения относительно баржи противоположны (угол между ними $180^\circ$).

Работа силы трения над ящиком:

$A_{тр,я} = F_{тр} \cdot L \cdot \cos(180^\circ) = -F_{тр} \cdot L = -\mu mgL$

Полная работа сил трения в системе отсчета баржи:

$A_a = A_{тр,я} + A_{тр,б} = -\mu mgL + 0 = -\mu mgL$

Ответ: $A_a = -\mu mgL$

б) в системе отсчета, связанной с Землей

Система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной. Полная работа сил трения $A_b$ равна изменению полной кинетической энергии системы "баржа + ящик", поскольку силы трения являются внутренними, а внешние горизонтальные силы отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю).

$A_b = \Delta K = K_{кон} - K_{нач}$

Пусть $\text{M}$ — масса баржи.

Начальная кинетическая энергия системы (ящик покоится, баржа движется со скоростью $\text{v}$):

$K_{нач} = K_{я,нач} + K_{б,нач} = 0 + \frac{1}{2}Mv^2$

В конце процесса ящик и баржа движутся вместе с одинаковой конечной скоростью $v_f$. Эту скорость можно найти из закона сохранения импульса для системы в горизонтальном направлении:

$Mv = (M+m)v_f \implies v_f = \frac{Mv}{M+m}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$K_{кон} = \frac{1}{2}(M+m)v_f^2 = \frac{1}{2}(M+m)\left(\frac{Mv}{M+m}\right)^2 = \frac{1}{2}\frac{M^2v^2}{M+m}$

Изменение кинетической энергии (и полная работа сил трения):

$A_b = \Delta K = \frac{1}{2}\frac{M^2v^2}{M+m} - \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{M^2v^2 - Mv^2(M+m)}{2(M+m)} = \frac{M^2v^2 - M^2v^2 - Mmv^2}{2(M+m)} = -\frac{Mmv^2}{2(M+m)}$

Полученное выражение зависит от неизвестной массы баржи $\text{M}$. Чтобы исключить ее, воспользуемся данными о длине следа $\text{L}$. Рассмотрим движение тел в системе отсчета Земли.

Ускорение ящика под действием силы трения: $a_я = \frac{F_{тр}}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$.

Ускорение баржи под действием силы трения (направленной против движения): $a_б = -\frac{F_{тр}}{M} = -\frac{\mu mg}{M}$.

Относительное ускорение ящика относительно баржи: $a_{отн} = a_я - a_б = \mu g - (-\frac{\mu mg}{M}) = \mu g(1+\frac{m}{M})$.

Начальная относительная скорость ящика $v_{отн,нач} = 0 - v = -v$. Конечная относительная скорость $v_{отн,кон} = 0$. Перемещение ящика относительно баржи $S_{отн} = -L$ (знак "минус", так как ящик смещается против направления движения баржи).

Используем формулу кинематики для равноускоренного движения: $v_{отн,кон}^2 - v_{отн,нач}^2 = 2 a_{отн} S_{отн}$.

$0^2 - (-v)^2 = 2 \cdot \mu g(1+\frac{m}{M}) \cdot (-L)$

$-v^2 = -2\mu g L \frac{M+m}{M}$

$v^2 = 2\mu g L \frac{M+m}{M}$

Теперь подставим это выражение для $v^2$ в формулу для работы $A_b$:

$A_b = -\frac{Mmv^2}{2(M+m)} = -\frac{Mm}{2(M+m)} \left( 2\mu g L \frac{M+m}{M} \right) = - \frac{Mm \cdot 2\mu g L (M+m)}{2(M+m)M} = -\mu mgL$

Таким образом, полная работа сил трения в системе отсчета, связанной с Землей, также равна $-\mu mgL$.

Ответ: $A_b = -\mu mgL$