Номер 4.11, страница 21 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.11, страница 21.

Условие.

4.11*. По длинному склону, образующему угол $\alpha$ с горизонтом, съезжает тележка, на которой установлен бак с водой. Через отверстие площадью $\text{S}$ в задней стенке бака вытекает струя воды со скоростью $\text{v}$ относительно бака. Поверхность воды в баке установилась параллельно склону. Найдите коэффициент сопротивления движению $\mu$. Масса тележки с баком $\text{M}$, за время спуска вытекает лишь небольшая часть воды.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона склона: $ \alpha $

Площадь отверстия: $ S $

Скорость вытекания воды относительно бака: $ v $

Масса тележки с баком: $ M $

Плотность воды: $ \rho $

Ускорение свободного падения: $ g $

Поверхность воды в баке параллельна склону.

Найти:

Коэффициент сопротивления движению $ \mu $.

Решение:

Рассмотрим движение тележки в системе отсчета, связанной со склоном. Введем оси координат: ось Ox направим вдоль склона вниз, а ось Oy — перпендикулярно склону вверх.

По условию задачи, поверхность воды в баке установилась параллельно склону. Свободная поверхность жидкости в неинерциальной системе отсчета всегда перпендикулярна вектору эффективного ускорения свободного падения $ \vec{g}_{\text{эфф}} = \vec{g} - \vec{a} $, где $ \vec{a} $ — ускорение системы (тележки), а $ \vec{g} $ — ускорение свободного падения.

Запишем векторы в выбранной системе координат:

Ускорение тележки: $ \vec{a} = (a, 0) $.

Ускорение свободного падения: $ \vec{g} = (g \sin\alpha, -g \cos\alpha) $.

Тогда эффективное ускорение:

$ \vec{g}_{\text{эфф}} = (g \sin\alpha - a, -g \cos\alpha) $

Поскольку поверхность воды параллельна склону (оси Ox), вектор $ \vec{g}_{\text{эфф}} $ должен быть ей перпендикулярен, то есть направлен вдоль оси Oy. Это означает, что его проекция на ось Ox равна нулю:

$ g \sin\alpha - a = 0 $

Отсюда находим ускорение тележки:

$ a = g \sin\alpha $

Теперь запишем второй закон Ньютона для тележки в проекциях на оси координат. На тележку действуют: сила тяжести $ M\vec{g} $, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, сила сопротивления $ \vec{F}_{\text{сопр}} $ и реактивная сила $ \vec{F}_{\text{реакт}} $, возникающая из-за вытекания воды.

Проекция на ось Oy:

$ N - Mg \cos\alpha = 0 $

$ N = Mg \cos\alpha $

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции: $ F_{\text{сопр}} = \mu N = \mu Mg \cos\alpha $. Эта сила направлена против движения, то есть против оси Ox.

Реактивная сила создается вытекающей струей воды. За время $ \Delta t $ из бака вытекает масса воды $ \Delta m = \rho S v \Delta t $. Эта масса приобретает скорость $ v $ относительно тележки. Согласно закону сохранения импульса, реактивная сила равна изменению импульса вытекающей воды в единицу времени:

$ F_{\text{реакт}} = \frac{\Delta m \cdot v}{\Delta t} = (\rho S v) v = \rho S v^2 $

Эта сила направлена в сторону движения тележки (вдоль оси Ox), так как вода вытекает из задней стенки.

Проекция на ось Ox:

$ Ma = Mg \sin\alpha - F_{\text{сопр}} + F_{\text{реакт}} $

Подставим известные выражения для $ a $, $ F_{\text{сопр}} $ и $ F_{\text{реакт}} $:

$ M(g \sin\alpha) = Mg \sin\alpha - \mu Mg \cos\alpha + \rho S v^2 $

Сократим слагаемое $ Mg \sin\alpha $ в обеих частях уравнения:

$ 0 = - \mu Mg \cos\alpha + \rho S v^2 $

Отсюда выразим искомый коэффициент сопротивления $ \mu $:

$ \mu Mg \cos\alpha = \rho S v^2 $

$ \mu = \frac{\rho S v^2}{Mg \cos\alpha} $

Ответ: $ \mu = \frac{\rho S v^2}{Mg \cos\alpha} $