Номер 4.7, страница 20 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.7, страница 20.

Условие.

4.7. Два рыбака ловят рыбу в озере, сидя в неподвижной лодке. Куда и на сколько сместится лодка, если рыбаки поменяются местами? Масса лодки $M = 280$ кг, масса одного рыбака $m_1 = 70$ кг, масса другого $m_2 = 140$ кг, расстояние между рыбаками $l = 5$ м. Сопротивлением воды можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса лодки, $M = 280$ кг

Масса первого рыбака, $m_1 = 70$ кг

Масса второго рыбака, $m_2 = 140$ кг

Расстояние между рыбаками, $l = 5$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Смещение лодки $\text{x}$ и его направление.

Решение:

Система, состоящая из лодки и двух рыбаков, является замкнутой в горизонтальном направлении, так как по условию задачи внешние горизонтальные силы отсутствуют (сопротивлением воды можно пренебречь). В замкнутой системе, если суммарный импульс изначально был равен нулю, центр масс системы сохраняет свое положение.

Поскольку лодка с рыбаками изначально находилась в покое, ее центр масс не сместится и после того, как рыбаки поменяются местами. Изменение положения центра масс системы равно нулю: $\Delta x_{цм} = 0$.

Выберем систему отсчета, связанную с берегом. Пусть ось $\text{OX}$ направлена от первоначального положения первого (более легкого) рыбака к первоначальному положению второго (более тяжелого) рыбака.

Пусть лодка сместилась на расстояние $\text{x}$ относительно берега. Когда рыбаки меняются местами, первый рыбак (массой $m_1$) перемещается относительно лодки на расстояние $\text{l}$ в положительном направлении оси $\text{OX}$, а второй рыбак (массой $m_2$) — на расстояние $\text{l}$ в отрицательном направлении.

Тогда смещение первого рыбака относительно берега составит $\Delta x_1 = x + l$.

Смещение второго рыбака относительно берега составит $\Delta x_2 = x - l$.

Смещение самой лодки (ее центра масс) относительно берега равно $\Delta x_M = x$.

Условие сохранения положения центра масс системы можно записать так:

$M \cdot \Delta x_M + m_1 \cdot \Delta x_1 + m_2 \cdot \Delta x_2 = 0$

Подставим в это уравнение выражения для смещений:

$M x + m_1(x + l) + m_2(x - l) = 0$

Раскроем скобки:

$Mx + m_1 x + m_1 l + m_2 x - m_2 l = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{x}$:

$x(M + m_1 + m_2) = m_2 l - m_1 l$

$x(M + m_1 + m_2) = l(m_2 - m_1)$

Отсюда находим смещение лодки $\text{x}$:

$x = \frac{l(m_2 - m_1)}{M + m_1 + m_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$x = \frac{5 \cdot (140 - 70)}{280 + 70 + 140} = \frac{5 \cdot 70}{490} = \frac{350}{490} = \frac{35}{49} = \frac{5}{7}$ м.

Вычислим приближенное значение: $x \approx 0.714$ м.

Поскольку результат $\text{x}$ получился положительным ($x > 0$), это означает, что направление смещения лодки совпадает с выбранным положительным направлением оси $\text{OX}$, то есть в сторону первоначального положения второго, более тяжелого рыбака.

Ответ: Лодка сместится на $\frac{5}{7}$ м (приблизительно на 0,71 м) в сторону первоначального положения более тяжелого рыбака.