Номер 3.16, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.16, страница 19.

Условие.

3.16**. Летая вокруг Земли в спутнике по круговой орбите А (см. рисунок), я решил приземлиться. Выбросив вперед мешок с пустыми консервными банками, я уменьшил скорость спутника так, что он перешел на орбиту В, касающуюся поверхности Земли. Через какое время $\text{t}$ после этого я приземлился? Радиус круговой орбиты втрое больше радиуса Земли.

Решение.

Решение 2.

Дано

Радиус круговой орбиты A: $r_A = 3R_З$

Радиус Земли: $R_З$

Новая орбита B - эллипс

Расстояние в апогее (наиболее удаленная точка) орбиты B: $r_{ап} = r_A = 3R_З$

Расстояние в перигее (наиболее близкая точка) орбиты B: $r_{пер} = R_З$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $\text{g}$

Найти:

Время приземления $\text{t}$

Решение

После уменьшения скорости спутник переходит на эллиптическую орбиту B. Точка, в которой произошло торможение (на расстоянии $3R_З$ от центра Земли), становится апогеем новой эллиптической орбиты. Точка приземления на поверхности Земли (на расстоянии $R_З$ от центра) является перигеем этой орбиты.

Время приземления $\text{t}$ — это время, за которое спутник пройдет половину эллиптической орбиты (от апогея до перигея). Следовательно, время приземления равно половине периода обращения $T_B$ по орбите B:

$t = \frac{T_B}{2}$

Для нахождения периода обращения воспользуемся третьим законом Кеплера, который связывает период обращения $\text{T}$ с большой полуосью орбиты $\text{a}$:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли.

Большая полуось эллиптической орбиты B, $a_B$, равна полусумме расстояний в апогее и перигее:

$a_B = \frac{r_{ап} + r_{пер}}{2} = \frac{3R_З + R_З}{2} = \frac{4R_З}{2} = 2R_З$

Теперь можем найти период обращения по орбите B:

$T_B = 2\pi \sqrt{\frac{a_B^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{(2R_З)^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{8R_З^3}{GM}}$

Чтобы выразить результат через известные величины, воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на поверхности Земли: $g = \frac{GM}{R_З^2}$. Отсюда следует, что $GM = gR_З^2$. Подставим это выражение в формулу для периода:

$T_B = 2\pi \sqrt{\frac{8R_З^3}{gR_З^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{8R_З}{g}} = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \sqrt{\frac{R_З}{g}} = 4\pi\sqrt{2} \sqrt{\frac{R_З}{g}}$

Наконец, найдем время приземления $\text{t}$:

$t = \frac{T_B}{2} = \frac{1}{2} \left( 4\pi\sqrt{2} \sqrt{\frac{R_З}{g}} \right) = 2\pi\sqrt{2} \sqrt{\frac{R_З}{g}}$

Формулу можно также записать в виде:

$t = 2\pi \sqrt{\frac{2R_З}{g}}$

Ответ:

$t = 2\pi \sqrt{\frac{2R_З}{g}}$