Номер 3.10, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.10, страница 19.

Условие.

3.10. В момент солнечного затмения действующие на Луну силы притяжения Земли и Солнца направлены противоположно. Какая из этих сил больше и во сколько раз? Используйте данные, приведенные в условиях задач 3.1 и 3.9.

Решение.

Решение 2.

Дано:

(Поскольку данные из задач 3.1 и 3.9 не предоставлены, используются стандартные астрономические значения, округленные для удобства вычислений)
Масса Солнца, $M_С \approx 2 \cdot 10^{30}$ кг
Масса Земли, $M_З \approx 6 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Луны, $m_Л$
Среднее расстояние от Земли до Луны, $R_{ЗЛ} \approx 3,84 \cdot 10^8$ м
Среднее расстояние от Солнца до Земли, $R_{СЗ} \approx 1,5 \cdot 10^{11}$ м
Гравитационная постоянная, $\text{G}$

Найти:

Какая из сил притяжения, действующих на Луну — со стороны Земли ($F_{ЗЛ}$) или со стороны Солнца ($F_{СЛ}$), — больше и во сколько раз. То есть, найти отношение $\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}}$.

Решение:

В момент солнечного затмения Солнце, Луна и Земля находятся на одной прямой, причем Луна расположена между Солнцем и Землей. Сила притяжения Луны к Земле ($F_{ЗЛ}$) и сила притяжения Луны к Солнцу ($F_{СЛ}$) направлены в противоположные стороны вдоль этой прямой.

Для определения величин этих сил воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Сила притяжения, действующая на Луну со стороны Земли, равна:

$F_{ЗЛ} = G \frac{M_З m_Л}{R_{ЗЛ}^2}$

Сила притяжения, действующая на Луну со стороны Солнца, равна:

$F_{СЛ} = G \frac{M_С m_Л}{R_{СЛ}^2}$

Здесь $R_{СЛ}$ — это расстояние между Солнцем и Луной. Во время солнечного затмения оно равно разности расстояний от Солнца до Земли и от Земли до Луны:

$R_{СЛ} = R_{СЗ} - R_{ЗЛ}$

Так как расстояние от Земли до Луны ($R_{ЗЛ} \approx 3,84 \cdot 10^8$ м) значительно меньше расстояния от Солнца до Земли ($R_{СЗ} \approx 1,5 \cdot 10^{11}$ м), для оценки можно принять, что $R_{СЛ} \approx R_{СЗ}$.

Чтобы сравнить силы, найдем их отношение:

$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} = \frac{G \frac{M_С m_Л}{R_{СЛ}^2}}{G \frac{M_З m_Л}{R_{ЗЛ}^2}}$

Сократив общие множители $\text{G}$ и $m_Л$, получим:

$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} = \frac{M_С}{M_З} \cdot \frac{R_{ЗЛ}^2}{R_{СЛ}^2} \approx \frac{M_С}{M_З} \cdot \left(\frac{R_{ЗЛ}}{R_{СЗ}}\right)^2$

Подставим числовые значения из раздела "Дано":

$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} \approx \frac{2 \cdot 10^{30} \text{ кг}}{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}} \cdot \left(\frac{3,84 \cdot 10^8 \text{ м}}{1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}}\right)^2$

Выполним вычисления:

$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} \approx \frac{1}{3} \cdot 10^6 \cdot \left(2,56 \cdot 10^{-3}\right)^2$

$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} \approx \frac{1}{3} \cdot 10^6 \cdot 6,5536 \cdot 10^{-6}$

$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} \approx \frac{6,5536}{3} \approx 2,18$

Полученное отношение больше единицы, следовательно, сила притяжения Луны к Солнцу больше, чем сила притяжения Луны к Земле.

Ответ: Сила притяжения Луны к Солнцу больше силы ее притяжения к Земле примерно в 2,2 раза.