Номер 3.3, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.3, страница 18.

Условие.

3.3. Космонавты, оказавшиеся на малой планете (астероиде), провели необычное «взвешивание»: груз и гири подвешивали к равноплечим рычажным весам с помощью очень легких нитей различной длины. Оказалось, что при разности длин нитей $h = 10 \text{ м}$ ошибка взвешивания составила $1\%$. Найдите по этим данным радиус $\text{R}$ астероида. Вращение астероида вокруг своей оси не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Разность длин нитей $h = 10$ м.

Ошибка взвешивания $\epsilon = 1\%$.

Перевод в СИ:

$h = 10$ м

$\epsilon = 0.01$

Найти:

Радиус астероида $\text{R}$.

Решение:

Рычажные весы находятся в равновесии, когда моменты сил, действующих на их плечи, равны. Поскольку по условию весы равноплечие, это означает, что силы тяжести, действующие на груз и гири, равны.

Сила тяжести (вес) тела массой $\text{m}$ на астероиде зависит от расстояния $\text{r}$ до его центра и определяется законом всемирного тяготения:

$F(r) = G \frac{Mm}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\text{M}$ — масса астероида.

Пусть масса груза равна $m_1$, а масса гирь, уравновешивающих его, равна $m_2$. Из-за разной длины нитей груз и гири находятся на разном расстоянии от центра астероида. Обозначим эти расстояния $r_1$ и $r_2$. Условие равновесия весов:

$F_1 = F_2 \implies G \frac{Mm_1}{r_1^2} = G \frac{Mm_2}{r_2^2}$

Из этого соотношения получаем:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$

Разность длин нитей $\text{h}$ равна разности расстояний грузов от центра астероида. Пусть масса $m_2$ находится дальше от центра, то есть $r_2 > r_1$ и $r_2 - r_1 = h$. Тогда из полученной формулы следует, что $\frac{m_2}{m_1} > 1$, то есть масса гирь $m_2$ больше массы груза $m_1$.

Ошибка взвешивания $\epsilon$ определяется как относительная разница между измеренной массой (гири $m_2$) и истинной массой (груз $m_1$):

$\epsilon = \frac{m_2 - m_1}{m_1} = \frac{m_2}{m_1} - 1$

Подставим сюда выражение для отношения масс:

$\epsilon = (\frac{r_2}{r_1})^2 - 1 \implies 1 + \epsilon = (\frac{r_2}{r_1})^2$

Подставим $r_2 = r_1 + h$:

$1 + \epsilon = (\frac{r_1 + h}{r_1})^2 = (1 + \frac{h}{r_1})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{1 + \epsilon} = 1 + \frac{h}{r_1}$

Выразим $r_1$:

$\frac{h}{r_1} = \sqrt{1 + \epsilon} - 1 \implies r_1 = \frac{h}{\sqrt{1 + \epsilon} - 1}$

Здесь $r_1$ — это расстояние от центра астероида до нижнего груза. Логично предположить, что взвешивание проводилось на поверхности астероида, и нижний груз находился непосредственно у поверхности. В этом случае $r_1$ равен радиусу астероида $\text{R}$.

$R = \frac{h}{\sqrt{1 + \epsilon} - 1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$R = \frac{10}{\sqrt{1 + 0.01} - 1} = \frac{10}{\sqrt{1.01} - 1}$

Вычислим значение:

$R \approx \frac{10}{1.00498756 - 1} = \frac{10}{0.00498756} \approx 2004.987$ м

Учитывая, что точность исходных данных (ошибка 1%) невелика, результат целесообразно округлить. Получаем $R \approx 2000$ м.

Ответ:

Радиус астероида $R \approx 2000$ м (или 2 км).