Номер 2.32, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.32, страница 17.

Условие.

2.32*. На вираже летчик поворачивает корпус самолета вокруг направления движения на угол $\alpha = 10^\circ$. Скорость полета $v = 360 \text{ км/ч}$. Найдите радиус поворота $\text{R}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол крена самолета, $\alpha = 10°$

Скорость полета, $v = 360$ км/ч

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

Скорость $v = 360 \, \frac{км}{ч} = 360 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = 100$ м/с

Найти:

Радиус поворота $\text{R}$.

Решение:

Когда самолет совершает вираж (поворот в горизонтальной плоскости), он накреняется на угол $\alpha$. На самолет действуют две основные силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и полная аэродинамическая сила (подъемная сила) $F_A$, которая перпендикулярна плоскости крыльев. Из-за крена подъемная сила $F_A$ отклонена от вертикали на угол $\alpha$.

Для анализа разложим подъемную силу $F_A$ на две составляющие: вертикальную $F_{A,y}$ и горизонтальную $F_{A,x}$.

1. Вертикальная составляющая подъемной силы $F_{A,y}$ уравновешивает силу тяжести, так как самолет летит на постоянной высоте (вертикальное ускорение равно нулю).

$F_{A,y} = F_A \cos(\alpha)$

По первому закону Ньютона для вертикальной оси:

$F_A \cos(\alpha) - mg = 0 \implies F_A \cos(\alpha) = mg$ (1)

2. Горизонтальная составляющая подъемной силы $F_{A,x}$ направлена к центру поворота и создает центростремительное ускорение $a_ц$, необходимое для движения по окружности.

$F_{A,x} = F_A \sin(\alpha)$

По второму закону Ньютона для горизонтальной оси:

$F_A \sin(\alpha) = ma_ц$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ — скорость самолета, а $\text{R}$ — радиус поворота.

Следовательно:

$F_A \sin(\alpha) = \frac{mv^2}{R}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти $\text{R}$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{F_A \sin(\alpha)}{F_A \cos(\alpha)} = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg}$

Сокращаем $F_A$ в левой части и $\text{m}$ в правой части. Учитывая, что $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$, получаем:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gR}$

Выразим из этой формулы радиус поворота $\text{R}$:

$R = \frac{v^2}{g \tan(\alpha)}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$R = \frac{(100 \, м/с)^2}{9.8 \, м/с^2 \cdot \tan(10°)}$

Значение тангенса $10°$ примерно равно $0.1763$.

$R = \frac{10000 \, м^2/с^2}{9.8 \, м/с^2 \cdot 0.1763} \approx \frac{10000}{1.72774} \, м \approx 5787.9 \, м$

Округлим результат до целых.

Ответ: радиус поворота составляет приблизительно $5788$ м, или $5.8$ км.