Номер 3.4, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.4, страница 18.

Условие.

3.4*. Найдите силу $\text{F}$ притяжения маленького шарика массой $\text{m}$ и большого однородного шара массой $\text{M}$, в котором имеется сферическая полость (см. рисунок).

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса маленького шарика: $\text{m}$

Масса большого однородного шара с полостью: $\text{M}$

Радиус большого шара: $\text{R}$

Радиус сферической полости: $R_{п} = R/2$

Расстояние от центра большого шара до маленького шарика: $\text{d}$

Центр полости смещен от центра большого шара на расстояние $R/2$ в сторону маленького шарика.

Найти:

Силу притяжения $\text{F}$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Силу притяжения шара с полостью можно представить как разность сил притяжения двух сплошных шаров: большого шара радиусом $\text{R}$ и малого шара радиусом $R/2$, который "вырезан" из большого для создания полости. Оба этих воображаемых шара имеют одинаковую плотность $\rho$.

1. Найдем плотность материала шара. Масса шара с полостью $\text{M}$ равна разности масс сплошного большого шара ($M_{1}$) и малого шара, соответствующего полости ($M_{2}$).

Объем большого шара (если бы он был сплошным): $V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем полости (малого шара): $V_{2} = \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8} = \frac{1}{8}V_{1}$

Объем шара с полостью: $V = V_{1} - V_{2} = V_{1} - \frac{1}{8}V_{1} = \frac{7}{8}V_{1} = \frac{7}{8}\frac{4}{3}\pi R^3$

Масса шара с полостью $M = \rho V = \rho \frac{7}{8}\frac{4}{3}\pi R^3$.

2. Выразим массы сплошного большого шара $M_{1}$ и "вырезанного" малого шара $M_{2}$ через заданную массу $\text{M}$.

Масса сплошного большого шара: $M_{1} = \rho V_{1} = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Из соотношения $M = \frac{7}{8} M_{1}$ находим: $M_{1} = \frac{8}{7}M$.

Масса "вырезанного" малого шара: $M_{2} = \rho V_{2} = \rho \frac{1}{8}V_{1} = \frac{1}{8}M_{1}$.

Подставив выражение для $M_{1}$, получаем: $M_{2} = \frac{1}{8} \left(\frac{8}{7}M\right) = \frac{1}{7}M$.

3. Рассчитаем результирующую силу. Согласно закону всемирного тяготения и теореме о гравитационном поле сферы, сила притяжения шара эквивалентна силе притяжения материальной точки той же массы, расположенной в центре шара.

Сила притяжения со стороны сплошного шара массой $M_{1}$ (центр на расстоянии $\text{d}$ от массы $\text{m}$):

$F_{1} = G \frac{M_{1} m}{d^2} = G \frac{(\frac{8}{7}M) m}{d^2} = \frac{8GMm}{7d^2}$

Сила притяжения, которую создавал бы "вырезанный" шар массой $M_{2}$: его центр находится на расстоянии $d - R/2$ от массы $\text{m}$.

$F_{2} = G \frac{M_{2} m}{(d - R/2)^2} = G \frac{(\frac{1}{7}M) m}{(d - R/2)^2} = \frac{GMm}{7(d - R/2)^2}$

Результирующая сила $\text{F}$ равна разности этих сил, так как они направлены вдоль одной прямой:

$F = F_{1} - F_{2} = \frac{8GMm}{7d^2} - \frac{GMm}{7(d - R/2)^2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$F = \frac{GMm}{7} \left( \frac{8}{d^2} - \frac{1}{(d - R/2)^2} \right)$

Ответ: $F = \frac{GMm}{7} \left( \frac{8}{d^2} - \frac{1}{(d - R/2)^2} \right)$