Номер 3.7, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.7, страница 18.

Условие.

3.7. Спутник движется по круговой орбите на высоте $\text{h}$. Выразите скорость спутника $\text{v}$ и период его обращения $\text{T}$ через $\text{h}$, радиус Земли $\text{R}$ и ускорение силы тяжести на поверхности Земли $\text{g}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{h}$ - высота спутника над поверхностью Земли,
$\text{R}$ - радиус Земли,
$\text{g}$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Найти:

$\text{v}$ - скорость спутника,
$\text{T}$ - период обращения спутника.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая является единственной силой, действующей на него. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение.

Радиус орбиты спутника равен сумме радиуса Земли и высоты над поверхностью: $r = R + h$.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на спутник, равна произведению его массы $\text{m}$ на центростремительное ускорение $a_c$:

$F_g = m \cdot a_c$

Центростремительное ускорение выражается через скорость и радиус орбиты: $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{v^2}{R+h}$.

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник на высоте $\text{h}$, определяется законом всемирного тяготения: $F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2} = G \frac{M \cdot m}{(R+h)^2}$, где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса Земли.

Приравниваем выражения для силы:

$G \frac{M \cdot m}{(R+h)^2} = m \frac{v^2}{R+h}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и один раз $(R+h)$, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{G M}{R+h}$

Чтобы выразить скорость через данные в задаче величины, воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на поверхности Земли:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы выразим произведение $G M = g R^2$ и подставим его в выражение для $v^2$:

$v^2 = \frac{g R^2}{R+h}$

скорость спутника v

Извлекая квадратный корень, находим искомую скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{g R^2}{R+h}} = R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$

Ответ: $v = R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$

период его обращения T

Период обращения $\text{T}$ - это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты $\text{L}$ к скорости спутника $\text{v}$. Длина круговой орбиты равна $L = 2\pi r = 2\pi(R+h)$.

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi(R+h)}{v}$

Подставим в эту формулу полученное ранее выражение для скорости $\text{v}$:

$T = \frac{2\pi(R+h)}{R\sqrt{\frac{g}{R+h}}} = \frac{2\pi(R+h)}{R} \cdot \sqrt{\frac{R+h}{g}} = \frac{2\pi}{R\sqrt{g}} \cdot (R+h) \cdot (R+h)^{1/2}$

После упрощения получаем окончательное выражение для периода обращения:

$T = \frac{2\pi}{R\sqrt{g}} \sqrt{(R+h)^3} = 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$