Номер 3.8, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.8, страница 19.

Условие.

3.8. Чтобы установить постоянную радиосвязь через искусственный спутник Земли, удобно, чтобы он все время «висел» над одной и той же точкой земной поверхности. Найдите радиус $\text{r}$ орбиты такого спутника, его скорость $\text{v}$ и период обращения $\text{T}$. В какой плоскости должна лежать траектория полета?

Решение.

Решение 2.

Чтобы искусственный спутник Земли «висел» над одной и той же точкой земной поверхности, он должен быть геостационарным. Это означает, что его угловая скорость вращения вокруг Земли должна быть равна угловой скорости вращения самой Земли, а его орбита должна лежать в плоскости земного экватора.

Дано:

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Масса Земли: $M \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Период вращения Земли: $T_{Земли} = 24 \text{ часа}$

Перевод в систему СИ:

$T_{Земли} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\text{r}$ - ?, $\text{v}$ - ?, $\text{T}$ - ?, плоскость траектории - ?

Решение:

Период обращения T

Из условия, что спутник должен быть неподвижен относительно точки на поверхности Земли, следует, что его период обращения $\text{T}$ должен быть равен периоду вращения Земли вокруг своей оси.

Ответ: Период обращения спутника $T = 86400 \text{ с}$ (24 часа).

Радиус r орбиты такого спутника

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_{тяг} = m a_{ц}$

$G \frac{M m}{r^2} = m a_{ц}$

где $\text{m}$ - масса спутника, $\text{r}$ - радиус орбиты. Центростремительное ускорение можно выразить через период обращения: $a_{ц} = \omega^2 r = (\frac{2\pi}{T})^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.

Подставим выражение для ускорения и сократим массу спутника $\text{m}$:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Выразим отсюда куб радиуса орбиты:

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

Теперь можем найти радиус:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} \cdot (86400)^2}{4 \cdot (3.1416)^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{3.98 \cdot 10^{14} \cdot 7.465 \cdot 10^9}{39.48}} \approx \sqrt[3]{7.54 \cdot 10^{22}} \text{ м}$

$r \approx 4.22 \cdot 10^7 \text{ м} = 42200 \text{ км}$

Ответ: Радиус орбиты такого спутника $r \approx 4.22 \cdot 10^7 \text{ м}$ (42200 км).

Его скорость v

Скорость движения спутника по круговой орбите можно найти по формуле, связывающей линейную скорость с периодом обращения:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим найденные значения радиуса и периода:

$v = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 4.22 \cdot 10^7 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 3070 \frac{м}{с} = 3.07 \frac{км}{с}$

Ответ: Его скорость $v \approx 3.07 \frac{км}{с}$.

В какой плоскости должна лежать траектория полета?

Чтобы спутник постоянно находился над одной и той же точкой, его орбита должна лежать в той же плоскости, в которой происходит вращение Земли. Земля вращается вокруг оси, проходящей через Северный и Южный полюса. Плоскость, перпендикулярная этой оси и проходящая через центр Земли, является плоскостью экватора. Таким образом, для выполнения условия задачи спутник должен двигаться по орбите, лежащей в плоскости земного экватора, и в том же направлении, в котором вращается Земля (с запада на восток).

Ответ: Траектория полета спутника должна лежать в плоскости земного экватора.