Номер 3.6, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.6, страница 18.

Условие.

3.6*. Известно, что при подъеме тела с поверхности Земли сила $\text{F}$ его притяжения к Земле уменьшается. А как изменяется эта сила при погружении тела в шахту, доходящую до центра Земли? Постройте график зависимости $F(r)$ для тела массой $\text{m}$, где $\text{r}$ — расстояние тела от центра Земли. Считайте Землю однородным шаром.

Решение.

Решение 2.

Решение

Для решения задачи рассмотрим два случая: когда тело находится внутри Земли (в шахте) и когда оно находится на её поверхности или выше. Пусть $\text{m}$ — масса тела, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{R}$ — радиус Земли, $\text{r}$ — расстояние от тела до центра Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\rho$ — средняя плотность Земли, которая по условию постоянна.

Случай 1: Тело находится внутри Земли ($0 \leq r \leq R$)

Согласно теореме Гаусса для гравитации (или следствию из неё, известному как теорема о сферической оболочке), сила притяжения, действующая на тело внутри сферически-симметричного объекта, создается только той массой, которая находится внутри сферы с радиусом $\text{r}$. Внешний сферический слой не оказывает на тело гравитационного воздействия.

Массу Земли $\text{M}$ можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ как $M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$. Отсюда плотность Земли: $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.

Масса $M'$ части Земли, находящейся внутри сферы радиусом $\text{r}$, равна $M' = \rho \cdot V' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$. Подставив выражение для плотности $\rho$, получим: $M' = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = M \frac{r^3}{R^3}$.

Теперь по закону всемирного тяготения найдём силу $\text{F}$, действующую на тело массой $\text{m}$ со стороны массы $M'$: $F(r) = G \frac{M'm}{r^2} = G \frac{(M \frac{r^3}{R^3}) m}{r^2} = G \frac{Mm}{R^3} r$.

Из этой формулы видно, что внутри Земли сила притяжения $\text{F}$ прямо пропорциональна расстоянию $\text{r}$ до её центра. При $r=0$ (в центре Земли) сила притяжения равна нулю.

Случай 2: Тело находится на поверхности или вне Земли ($r \geq R$)

В этом случае Земля притягивает тело так, как будто вся её масса $\text{M}$ сосредоточена в центре. Сила притяжения описывается стандартной формулой закона всемирного тяготения: $F(r) = G \frac{Mm}{r^2}$.

Эта формула показывает, что вне Земли сила притяжения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от её центра. На поверхности Земли, при $r=R$, сила максимальна и равна $F_{max} = G \frac{Mm}{R^2}$.

Вывод и построение графика

При погружении тела в шахту от поверхности к центру Земли сила притяжения будет уменьшаться линейно, от максимального значения $F_{max}$ на поверхности до нуля в центре.

График зависимости $F(r)$ будет состоять из двух участков. Первый участок, при $0 \leq r \leq R$, представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат и идущую до точки с координатами $(R, G\frac{Mm}{R^2})$. Это соответствует функции $F(r) = (G\frac{Mm}{R^3}) \cdot r$. Второй участок, при $r \geq R$, представляет собой кривую, убывающую по закону обратных квадратов, согласно функции $F(r) = G\frac{Mm}{r^2}$. Графически это выглядит как линейный рост силы от центра до поверхности Земли, а затем спад по закону обратных квадратов при удалении от неё.

Ответ: При погружении тела в шахту от поверхности к центру Земли сила его притяжения к Земле уменьшается прямо пропорционально расстоянию до центра, становясь равной нулю в центре Земли. График зависимости силы притяжения $\text{F}$ от расстояния $\text{r}$ до центра Земли представляет собой прямую линию, идущую из начала координат до точки, соответствующей поверхности Земли (где сила максимальна), после чего график переходит в кривую, убывающую обратно пропорционально квадрату расстояния.