Номер 2.33, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.33, страница 17.

Условие.

2.33** На вертикальной оси электродвигателя укреплен отвес — маленький шарик на нити длиной $l = 12,5$ см. При медленном вращении двигателя нить остается вертикальной, а при быстром вращении шарик движется как конический маятник. При какой частоте $n_1$ вращения двигателя нить начинает отклоняться от вертикали? Чему равен угол ее отклонения $\varphi_2$ при частоте вращения $n_2 = 3$ с$^{-1}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 12,5 \text{ см} = 0,125 \text{ м}$

$n_2 = 3 \text{ с}^{-1}$

Найти:

$n_1 - ?$

$\phi_2 - ?$

Решение:

Когда шарик вращается, он движется по окружности в горизонтальной плоскости, описывая конический маятник. На шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось (направленную к центру вращения) и вертикальную ось (направленную вверх). Пусть $\phi$ — угол отклонения нити от вертикали.

Проекция на вертикальную ось (Y):
$T \cos\phi - mg = 0 \implies T \cos\phi = mg$ (1)

Проекция на горизонтальную ось (X):
$T \sin\phi = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение $a_c$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $\text{r}$ как $a_c = \omega^2 r$. Угловая скорость связана с частотой $\text{n}$ формулой $\omega = 2\pi n$. Радиус вращения $\text{r}$ равен $l \sin\phi$.

Подставим эти выражения в уравнение (2):
$T \sin\phi = m(2\pi n)^2 (l \sin\phi)$

Разделим обе части уравнения на $\sin\phi$ (считая, что $\phi \ne 0$):
$T = m(2\pi n)^2 l = 4\pi^2 n^2 m l$ (3)

Теперь подставим выражение для $\text{T}$ из (3) в уравнение (1):
$(4\pi^2 n^2 m l) \cos\phi = mg$

Сократив массу $\text{m}$, получим общую формулу для угла отклонения в зависимости от частоты вращения:
$\cos\phi = \frac{g}{4\pi^2 n^2 l}$ (4)

При какой частоте n₁ вращения двигателя нить начинает отклоняться от вертикали?

Отклонение нити от вертикали ($\phi > 0$) возможно только в том случае, если значение косинуса в формуле (4) меньше единицы, так как $\cos\phi \le 1$. Следовательно, должно выполняться условие:
$\frac{g}{4\pi^2 n^2 l} \le 1$

Минимальная частота $n_1$, при которой начинается отклонение, соответствует пороговому значению, когда это выражение равно единице:
$\frac{g}{4\pi^2 n_1^2 l} = 1 \implies n_1^2 = \frac{g}{4\pi^2 l}$

Отсюда находим $n_1$:
$n_1 = \sqrt{\frac{g}{4\pi^2 l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$

Подставим числовые значения ($g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$):
$n_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{0,125 \text{ м}}} \approx \frac{1}{6,283} \sqrt{78,4 \text{ с}^{-2}} \approx \frac{8,854}{6,283} \approx 1,41 \text{ с}^{-1}$

Ответ: $n_1 \approx 1,41 \text{ с}^{-1}$.

Чему равен угол ее отклонения $\phi_2$ при частоте вращения $n_2 = 3$ с⁻¹?

Воспользуемся выведенной ранее формулой (4), подставив в нее значение частоты $n_2$:
$\cos\phi_2 = \frac{g}{4\pi^2 n_2^2 l}$

Подставим числовые значения:
$\cos\phi_2 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2 (3 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0,125 \text{ м}} = \frac{9,8}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 0,125} = \frac{9,8}{4,5\pi^2}$

Выполним расчеты:
$\cos\phi_2 \approx \frac{9,8}{4,5 \cdot 9,87} \approx \frac{9,8}{44,415} \approx 0,2206$

Найдем угол $\phi_2$, взяв арккосинус от полученного значения:
$\phi_2 = \arccos(0,2206) \approx 77,26^\circ$

Округлив, получаем:
$\phi_2 \approx 77^\circ$

Ответ: $\phi_2 \approx 77^\circ$.