Номер 2.29, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.29, страница 17.

Условие.

2.29* На диск проигрывателя на расстоянии $\text{r}$ от оси положили монету массой $\text{m}$. Диск вращается с частотой $\text{n}$. Коэффициент трения между монетой и диском равен $\mu$. Найдите зависимость силы трения, действующей на монету, от расстояния $\text{r}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса монеты: $\text{m}$

Расстояние от оси вращения: $\text{r}$

Частота вращения диска: $\text{n}$ [Гц или с⁻¹]

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

Зависимость силы трения от расстояния: $F_{тр}(r)$

Решение:

На монету, находящуюся на вращающемся диске, в системе отсчета, связанной с землей, действуют следующие силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вертикально вверх, и сила трения $F_{тр}$, направленная горизонтально к центру вращения.

Поскольку в вертикальном направлении движения нет, силы тяжести и нормальной реакции уравновешивают друг друга:

$N = mg$

Для того чтобы монета двигалась по окружности радиусом $\text{r}$ вместе с диском, на нее должна действовать центростремительная сила. Эту роль выполняет сила трения покоя $F_{тр}$, направленная к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тр} = ma_ц$

где $a_ц$ — центростремительное ускорение. Оно определяется по формуле $a_ц = \omega^2 r$, где $\omega$ — угловая скорость вращения. Угловая скорость связана с частотой вращения $\text{n}$ соотношением $\omega = 2\pi n$.

Подставив выражения для ускорения и угловой скорости, получим величину силы трения, необходимой для удержания монеты на окружности:

$F_{тр} = m(2\pi n)^2 r = 4\pi^2 n^2 m r$

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения $F_{тр.макс}$, которое равно:

$F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg$

Таким образом, монета будет оставаться на диске и вращаться вместе с ним до тех пор, пока требуемая центростремительная сила не превысит максимальную силу трения покоя, то есть пока выполняется условие $F_{тр} \le F_{тр.макс}$.

Найдем критическое расстояние $r_0$, при котором монета начинает скользить. В этой точке сила трения достигает своего максимального значения:

$4\pi^2 n^2 m r_0 = \mu mg$

$r_0 = \frac{\mu mg}{4\pi^2 n^2 m} = \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2}$

Теперь мы можем описать зависимость силы трения от расстояния $\text{r}$:

1. Если расстояние $\text{r}$ не превышает критического значения ($r \le r_0$), монета не скользит. Действующая на нее сила трения покоя в точности равна требуемой центростремительной силе. В этом диапазоне сила трения линейно возрастает с увеличением расстояния $\text{r}$.

$F_{тр} = 4\pi^2 n^2 m r$

2. Если расстояние $\text{r}$ превышает критическое значение ($r > r_0$), то максимальной силы трения покоя недостаточно, чтобы удержать монету. Монета начинает скользить. В этом случае на нее действует сила трения скольжения, величина которой постоянна и равна (считая, что коэффициент трения скольжения равен данному коэффициенту $\mu$):

$F_{тр} = \mu mg$

Ответ:

Зависимость силы трения, действующей на монету, от расстояния $\text{r}$ является кусочно-заданной функцией:

$F_{тр}(r) = \begin{cases} 4\pi^2 n^2 m r, & \text{если } r \le \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2} \\ \mu mg, & \text{если } r > \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2} \end{cases}$