Номер 2.24, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.24, страница 16.

Условие.

2.24**. Кирпич массой $\text{m}$ лежит на горизонтальном столе. Коэффициент трения между кирпичом и столом равен $\mu$. К кирпичу приложена горизонтальная сила $\text{F}$.

а) Выразите аналитически и графически зависимость силы трения $F_{\text{тр}}$ и ускорения кирпича $\text{a}$ от модуля силы $\text{F}$.

б) Сделайте то же самое, когда сила $\text{F}$ направлена под углом $\alpha$ к плоскости стола (учитывая случаи $\alpha > 0$ и $\alpha < 0$).

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса кирпича: $\text{m}$

Коэффициент трения: $\mu$

Приложенная сила: $\text{F}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Выразить аналитически и графически зависимости силы трения $F_{\text{тр}}$ и ускорения кирпича $\text{a}$ от модуля силы $\text{F}$.

Решение:

а) Сила F направлена горизонтально

На кирпич действуют четыре силы: сила тяжести $\text{mg}$ (вниз), сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ (вверх), приложенная сила $\text{F}$ (горизонтально) и сила трения $F_{\text{тр}}$ (горизонтально, против $\text{F}$).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную (Y) и горизонтальную (X) оси:

Ось Y: $N - mg = 0 \implies N = mg$

Ось X: $F - F_{\text{тр}} = ma$

Рассмотрим два случая:

1. Кирпич покоится ($a=0$). Это происходит, пока приложенная сила $\text{F}$ не превышает максимальную силу трения покоя $F_{\text{тр, макс}} = \mu N = \mu mg$. В этом случае сила трения покоя уравновешивает приложенную силу: $F_{\text{тр}} = F$.

2. Кирпич движется ($a>0$). Это происходит, когда $F > \mu mg$. Сила трения становится силой трения скольжения и постоянна: $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg$. Ускорение находится из уравнения для оси X: $F - \mu mg = ma \implies a = \frac{F - \mu mg}{m} = \frac{F}{m} - \mu g$.

Аналитические зависимости:

Сила трения $F_{\text{тр}}$:

$F_{\text{тр}}(F) = \begin{cases} F, & \text{если } 0 \le F \le \mu mg \\\mu mg, & \text{если } F > \mu mg \end{cases}$

Ускорение $\text{a}$:

$a(F) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le F \le \mu mg \\\frac{F}{m} - \mu g, & \text{если } F > \mu mg \end{cases}$

Графические зависимости:

Зависимость силы трения $F_{\text{тр}}$ от силы $\text{F}$:

Зависимость ускорения $\text{a}$ от силы $\text{F}$:

Ответ: Аналитически: $F_{\text{тр}}(F) = \{F, \text{ если } 0 \le F \le \mu mg; \mu mg, \text{ если } F > \mu mg\}$ и $a(F) = \{0, \text{ если } 0 \le F \le \mu mg; (F/m) - \mu g, \text{ если } F > \mu mg\}$. Графики представлены выше.

б) Сила F направлена под углом $\alpha$ к плоскости стола

Разложим силу $\text{F}$ на горизонтальную $F_x = F \cos \alpha$ и вертикальную $F_y = F \sin \alpha$ составляющие. Запишем второй закон Ньютона в проекциях:

Ось Y: $N + F_y - mg = 0 \implies N = mg - F \sin \alpha$

Ось X: $F_x - F_{\text{тр}} = ma \implies F \cos \alpha - F_{\text{тр}} = ma$

Кирпич начнет движение, когда горизонтальная составляющая силы $F_x$ превысит максимальную силу трения покоя $F_{\text{тр, макс}} = \mu N$.

$F \cos \alpha > \mu (mg - F \sin \alpha) \implies F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) > \mu mg$

Пороговая сила для начала движения: $F_{\text{старт}} = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.

Случай 1: $\alpha > 0$ (сила направлена вверх)

В этом случае вертикальная составляющая силы $F_y$ уменьшает силу нормальной реакции $\text{N}$. При достаточно большой силе $\text{F}$ кирпич может оторваться от стола. Условие отрыва: $N=0 \implies mg - F \sin \alpha = 0 \implies F_{\text{отрыв}} = \frac{mg}{\sin \alpha}$.

Аналитические зависимости ($0 < \alpha < \pi/2$):

Сила трения $F_{\text{тр}}$:

$F_{\text{тр}}(F) = \begin{cases} F \cos \alpha, & \text{если } 0 \le F \le F_{\text{старт}} \\\mu (mg - F \sin \alpha), & \text{если } F_{\text{старт}} < F \le F_{\text{отрыв}} \\0, & \text{если } F > F_{\text{отрыв}}\end{cases}$

Ускорение $\text{a}$:

$a(F) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le F \le F_{\text{старт}} \\\frac{F(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{m} - \mu g, & \text{если } F_{\text{старт}} < F \le F_{\text{отрыв}} \\\frac{F \cos \alpha}{m}, & \text{если } F > F_{\text{отрыв}} \text{ (ускорение в воздухе)}\end{cases}$

Графические зависимости ($0 < \alpha < \pi/2$):

Зависимость силы трения $F_{\text{тр}}$ от силы $\text{F}$:

Зависимость ускорения $\text{a}$ от силы $\text{F}$:

Случай 2: $\alpha < 0$ (сила направлена вниз)

Пусть $\alpha = -|\alpha|$. Тогда $N = mg - F \sin(-|\alpha|) = mg + F \sin|\alpha|$. Сила нормальной реакции увеличивается с ростом $\text{F}$. Отрыв невозможен.

Условие начала движения: $F(\cos|\alpha| - \mu \sin|\alpha|) > \mu mg$. Движение возможно только если $\cos|\alpha| - \mu \sin|\alpha| > 0$, то есть $\cot|\alpha| > \mu$. Если $\cot|\alpha| \le \mu$, то кирпич сдвинуть с места невозможно ни при какой силе $\text{F}$ (самоторможение).

Предположим, что $\cot|\alpha| > \mu$. Тогда $F_{\text{старт}} = \frac{\mu mg}{\cos|\alpha| - \mu \sin|\alpha|} $.

Аналитические зависимости ($\alpha < 0, \cot|\alpha| > \mu$):

Сила трения $F_{\text{тр}}$:

$F_{\text{тр}}(F) = \begin{cases} F \cos \alpha, & \text{если } 0 \le F \le F_{\text{старт}} \\\mu (mg - F \sin \alpha), & \text{если } F > F_{\text{старт}}\end{cases}$

Ускорение $\text{a}$:

$a(F) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le F \le F_{\text{старт}} \\\frac{F(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{m} - \mu g, & \text{если } F > F_{\text{старт}}\end{cases}$

Графические зависимости ($\alpha < 0, \cot|\alpha| > \mu$):

Зависимость силы трения $F_{\text{тр}}$ от силы $\text{F}$:

Зависимость ускорения $\text{a}$ от силы $\text{F}$:

Ответ:При $\alpha > 0$: $F_{\text{тр}}(F) = \{F \cos \alpha, \text{ если } F \le F_{\text{старт}}; \mu(mg - F\sin\alpha), \text{ если } F_{\text{старт}} < F \le F_{\text{отрыв}}\}$. $a(F) = \{0, \text{ если } F \le F_{\text{старт}}; \frac{F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}{m}-\mu g, \text{ если } F_{\text{старт}} < F \le F_{\text{отрыв}}\}$. Где $F_{\text{старт}} = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$ и $F_{\text{отрыв}} = \frac{mg}{\sin \alpha}$.При $\alpha < 0$: Движение возможно, если $\cot|\alpha| > \mu$. Тогда $F_{\text{тр}}(F) = \{F \cos \alpha, \text{ если } F \le F_{\text{старт}}; \mu(mg - F\sin\alpha), \text{ если } F > F_{\text{старт}}\}$. $a(F) = \{0, \text{ если } F \le F_{\text{старт}}; \frac{F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}{m}-\mu g, \text{ если } F > F_{\text{старт}}\}$. Где $F_{\text{старт}} = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$. Если $\cot|\alpha| \le \mu$, то $a=0$ и $F_{\text{тр}}=F\cos\alpha$ для любой силы $\text{F}$. Графики представлены выше.