Номер 2.17, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.17, страница 16.

Условие.

2.17*. В показанной на рисунке системе $ \alpha = 20^{\circ} $, $ m_1 = 2 $ кг, $ m_2 = 1 $ кг. Коэффициент трения между первым грузом и наклонной плоскостью $ \mu = 0,1 $. Грузы отпускают без начальной скорости.

a) Найдите ускорение $ a $ системы грузов и силу натяжения нити $ T $.

б) Как изменится ответ, если коэффициент трения станет равным $ 0,3 $?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 2 \text{ кг}$

$m_2 = 1 \text{ кг}$

$\alpha = 20^\circ$

$\mu_a = 0,1$ (для пункта а)

$\mu_b = 0,3$ (для пункта б)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $a - ?, T - ?$ при $\mu = 0,1$

б) $a - ?, T - ?$ при $\mu = 0,3$

Решение:

а)

Сначала определим, в какую сторону будет двигаться система. Для этого сравним силу, которая тянет груз $m_2$ вниз ($F_{g2}$), с составляющей силы тяжести груза $m_1$, направленной вдоль наклонной плоскости вниз ($F_{g1x}$).

Сила, действующая со стороны груза $m_2$: $F_{g2} = m_2 g = 1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 9,8 \text{ Н}$.

Составляющая силы тяжести груза $m_1$ вдоль плоскости: $F_{g1x} = m_1 g \sin(\alpha) = 2 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(20^\circ) \approx 19,6 \cdot 0,342 = 6,70 \text{ Н}$.

Поскольку $F_{g2} > F_{g1x}$ ($9,8 \text{ Н} > 6,70 \text{ Н}$), система начнет движение так, что груз $m_2$ будет опускаться, а груз $m_1$ — подниматься по наклонной плоскости. Сила трения скольжения $F_{тр}$ для груза $m_1$ будет направлена против движения, то есть вниз по наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза. Ускорение обоих грузов одинаково по модулю и равно $\text{a}$.

Для груза $m_1$ (ось $\text{Ox}$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно ей):

Проекция на ось $Ox: T - F_{g1x} - F_{тр} = m_1 a \implies T - m_1 g \sin(\alpha) - F_{тр} = m_1 a$ (1)

Проекция на ось $Oy: N - m_1 g \cos(\alpha) = 0 \implies N = m_1 g \cos(\alpha)$

Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu_a N = \mu_a m_1 g \cos(\alpha)$.

Для груза $m_2$ (ось направлена вертикально вниз):

$m_2 g - T = m_2 a$ (2)

Получили систему из двух уравнений. Сложим уравнения (1) и (2), предварительно подставив в (1) выражение для силы трения:

$T - m_1 g \sin(\alpha) - \mu_a m_1 g \cos(\alpha) = m_1 a$

$m_2 g - T = m_2 a$

$(m_2 g - T) + (T - m_1 g \sin(\alpha) - \mu_a m_1 g \cos(\alpha)) = m_2 a + m_1 a$

$m_2 g - m_1 g (\sin(\alpha) + \mu_a \cos(\alpha)) = a(m_1 + m_2)$

Отсюда выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{g(m_2 - m_1(\sin(\alpha) + \mu_a \cos(\alpha)))}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8(1 - 2(\sin(20^\circ) + 0,1 \cdot \cos(20^\circ)))}{2 + 1} \approx \frac{9,8(1 - 2(0,342 + 0,1 \cdot 0,940))}{3} = \frac{9,8(1 - 2(0,436))}{3} = \frac{9,8(1 - 0,872)}{3} = \frac{9,8 \cdot 0,128}{3} \approx 0,418 \text{ м/с}^2$.

Теперь найдем силу натяжения нити $\text{T}$ из уравнения (2):

$T = m_2 g - m_2 a = m_2(g-a) = 1 \cdot (9,8 - 0,418) = 9,382 \text{ Н}$.

Округлим результаты до двух значащих цифр.

Ответ: Ускорение системы $a \approx 0,42 \text{ м/с}^2$, сила натяжения нити $T \approx 9,4 \text{ Н}$.

б)

Рассмотрим случай, когда коэффициент трения $\mu_b = 0,3$. Прежде всего, необходимо проверить, начнет ли система движение. Движение начнется, если движущая сила $F_{g2}$ будет больше максимальной силы сопротивления, которая состоит из проекции силы тяжести $F_{g1x}$ и максимальной силы трения покоя $F_{тр.пок.макс}$.

Движущая сила: $F_{дв} = m_2 g = 9,8 \text{ Н}$.

Максимальная сила сопротивления: $F_{сопр.макс} = F_{g1x} + F_{тр.пок.макс} = m_1 g \sin(\alpha) + \mu_b m_1 g \cos(\alpha) = m_1 g (\sin(\alpha) + \mu_b \cos(\alpha))$.

Подставим значения:

$F_{сопр.макс} = 2 \cdot 9,8 (\sin(20^\circ) + 0,3 \cdot \cos(20^\circ)) \approx 19,6 (0,342 + 0,3 \cdot 0,940) = 19,6 (0,342 + 0,282) = 19,6 \cdot 0,624 \approx 12,23 \text{ Н}$.

Сравниваем силы: $F_{дв} = 9,8 \text{ Н}$ и $F_{сопр.макс} = 12,23 \text{ Н}$.

Поскольку движущая сила меньше максимальной силы трения покоя ($F_{дв} < F_{сопр.макс}$), система не придет в движение и останется в состоянии покоя. Следовательно, ускорение системы равно нулю.

$a = 0 \text{ м/с}^2$.

Так как система находится в равновесии, сила натяжения нити $\text{T}$ уравновешивает силу тяжести груза $m_2$. Из второго закона Ньютона для груза $m_2$ (при $a=0$):

$m_2 g - T = 0 \implies T = m_2 g = 1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 9,8 \text{ Н}$.

Ответ: Система не будет двигаться, ускорение $a = 0 \text{ м/с}^2$, сила натяжения нити $T = 9,8 \text{ Н}$.