Номер 2.13, страница 15 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.13, страница 15.

Условие.

2.13*Два груза массами $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, переброшенной через неподвижный блок (см. рисунок). Груз массой $m_1$ отпускают без толчка. С каким ускорением $\text{a}$ относительно стола движутся грузы, если коэффициент трения второго груза о стол равен $\mu$? Какова сила $\text{T}$ натяжения нити? Как изменится ответ, если вся система находится в лифте, движущемся с ускорением $a_0$, направленным вверх?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Массы грузов: $m_1$, $m_2$

Коэффициент трения: $\mu$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Ускорение лифта: $a_0$ (для второй части)

Найти:

1. Ускорение грузов $\text{a}$ и силу натяжения нити $\text{T}$ в неподвижной системе.

2. Ускорение грузов $a'$ и силу натяжения нити $T'$ в лифте, движущемся вверх с ускорением $a_0$.

Решение:

1. Система в состоянии покоя (не в лифте)

Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов. Будем считать нить и блок идеальными (невесомыми, нить нерастяжима, трения в блоке нет). Оси координат выберем так: для груза $m_1$ ось OY направлена вертикально вниз, для груза $m_2$ — ось OX горизонтально вправо, а ось OY вертикально вверх.

Для груза $m_1$, движущегося вертикально вниз с ускорением $\text{a}$:

На него действуют сила тяжести $m_1g$ и сила натяжения нити $\text{T}$. Уравнение движения в проекции на ось OY:

$m_1g - T = m_1a$ (1)

Для груза $m_2$, движущегося по горизонтальному столу вправо с тем же ускорением $\text{a}$:

Вертикальные силы: сила тяжести $m_2g$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. В проекции на вертикальную ось:

$N - m_2g = 0 \implies N = m_2g$

Горизонтальные силы: сила натяжения нити $\text{T}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. В проекции на горизонтальную ось:

$T - F_{тр} = m_2a$

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu m_2g$. Подставим это в уравнение:

$T - \mu m_2g = m_2a$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{T}$. Сложим эти два уравнения, чтобы найти ускорение $\text{a}$:

$(m_1g - T) + (T - \mu m_2g) = m_1a + m_2a$

$g(m_1 - \mu m_2) = a(m_1 + m_2)$

$a = \frac{g(m_1 - \mu m_2)}{m_1 + m_2}$

Чтобы найти силу натяжения нити $\text{T}$, подставим найденное значение $\text{a}$ в уравнение (2):

$T = m_2a + \mu m_2g = m_2\left(\frac{g(m_1 - \mu m_2)}{m_1 + m_2}\right) + \mu m_2g$

$T = \frac{m_2g(m_1 - \mu m_2) + \mu m_2g(m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}$

$T = \frac{m_1m_2g - \mu m_2^2g + \mu m_1m_2g + \mu m_2^2g}{m_1 + m_2} = \frac{m_1m_2g(1 + \mu)}{m_1 + m_2}$

Движение возможно, если движущая сила $m_1g$ больше максимальной силы трения покоя $\mu m_2g$, то есть при $m_1 > \mu m_2$. В противном случае система будет в покое, $a=0$.

Ответ: Ускорение грузов $a = \frac{g(m_1 - \mu m_2)}{m_1 + m_2}$, сила натяжения нити $T = \frac{m_1m_2g(1 + \mu)}{m_1 + m_2}$.

Как изменится ответ, если вся система находится в лифте, движущемся с ускорением a₀, направленным вверх?

Движение в лифте, который ускоряется вверх, можно рассматривать в неинерциальной системе отсчета, связанной с лифтом. В этой системе на каждое тело действует дополнительная сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}_0$, которая в данном случае направлена вертикально вниз. Ее действие эквивалентно увеличению ускорения свободного падения. Эффективное ускорение свободного падения будет равно $g_{эф} = g + a_0$.

Следовательно, для нахождения новых значений ускорения $a'$ и силы натяжения $T'$ мы можем использовать полученные ранее формулы, просто заменив в них $\text{g}$ на $(g + a_0)$.

Новое ускорение грузов (относительно стола в лифте):

$a' = \frac{(g + a_0)(m_1 - \mu m_2)}{m_1 + m_2}$

Новая сила натяжения нити:

$T' = \frac{m_1m_2(g + a_0)(1 + \mu)}{m_1 + m_2}$

Ответ: Ускорение грузов относительно стола станет равным $a' = \frac{(g + a_0)(m_1 - \mu m_2)}{m_1 + m_2}$, а сила натяжения нити $T' = \frac{m_1m_2(g + a_0)(1 + \mu)}{m_1 + m_2}$.