Номер 2.20, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.20, страница 16.

Условие.

2.20. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением $\text{a}$, установлен штатив, на котором подвешен шарик на нити. Найдите угол $\alpha$ отклонения нити от вертикали и силу $\text{T}$ натяжения нити.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Ускорение тележки: $\text{a}$

Масса шарика: $\text{m}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Угол отклонения нити от вертикали: $\alpha$

Сила натяжения нити: $\text{T}$

Решение:

Рассмотрим движение шарика в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На шарик действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали.

Шарик движется вместе с тележкой, следовательно, его ускорение $\vec{a}$ направлено горизонтально. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$

Выберем систему координат: ось OX направим горизонтально в сторону ускорения, а ось OY – вертикально вверх. Спроецируем второй закон Ньютона на эти оси:

Проекция на ось OX: $ma = T \sin \alpha$ (1)

Проекция на ось OY: $0 = T \cos \alpha - mg$ (2)

Из уравнения (2) следует, что $T \cos \alpha = mg$. Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

1) $T \sin \alpha = ma$

2) $T \cos \alpha = mg$

Из этой системы найдем искомые величины.

Угол α отклонения нити от вертикали

Для нахождения угла $\alpha$ разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{ma}{mg}$

После сокращения $\text{T}$ и $\text{m}$ получаем:

$\tan \alpha = \frac{a}{g}$

Отсюда искомый угол равен:

$\alpha = \arctan\left(\frac{a}{g}\right)$

Ответ: $\alpha = \arctan\left(\frac{a}{g}\right)$

Сила T натяжения нити

Для нахождения силы натяжения $\text{T}$ возведем оба уравнения системы (1) и (2) в квадрат и сложим их:

$(T \sin \alpha)^2 + (T \cos \alpha)^2 = (ma)^2 + (mg)^2$

$T^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = m^2(a^2 + g^2)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$T^2 = m^2(a^2 + g^2)$

Извлекая квадратный корень, находим силу натяжения нити:

$T = \sqrt{m^2(a^2 + g^2)} = m\sqrt{a^2 + g^2}$

Ответ: $T = m\sqrt{a^2 + g^2}$