Номер 2.22, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.22, страница 16.

Условие.

2.22. По наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, съезжает без трения тележка. На тележке установлен штатив, к которому подвешен на нити шарик массой $\text{m}$. Найдите угол $\beta$ отклонения нити от вертикали и силу $\text{T}$ натяжения нити.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона плоскости к горизонту: $\alpha$
Масса шарика: $\text{m}$
Трение отсутствует.

Найти:

Угол отклонения нити от вертикали: $\beta$
Сила натяжения нити: $\text{T}$

Решение:

1. Сначала определим ускорение $\text{a}$, с которым тележка съезжает по наклонной плоскости. Так как трение отсутствует, единственной силой, действующей на систему «тележка+шарик» вдоль наклонной плоскости, является составляющая силы тяжести. Согласно второму закону Ньютона:

$(M+m)a = (M+m)g \sin \alpha$

где $\text{M}$ – масса тележки. Отсюда ускорение системы (и каждого тела в ней) равно:

$a = g \sin \alpha$

Ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль наклонной плоскости вниз.

2. Далее рассмотрим движение шарика в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой. В этой системе шарик находится в состоянии покоя (равновесия). На него действуют три силы:
- Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
- Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.
- Сила инерции $\vec{F_и} = -m\vec{a}$, направленная в сторону, противоположную ускорению, то есть вверх вдоль наклонной плоскости.

Условие равновесия шарика в этой системе отсчета записывается как равенство нулю векторной суммы всех сил:

$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_и} = 0$

Подставив выражения для сил, получим:

$\vec{T} + m\vec{g} - m\vec{a} = 0$

Отсюда можно выразить силу натяжения нити:

$\vec{T} = -m(\vec{g} - \vec{a})$

3. Для того чтобы найти направление и модуль вектора $\vec{T}$, проанализируем выражение $(\vec{g} - \vec{a})$. Для этого удобно разложить вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ на две составляющие: параллельную ($\vec{g}_{||}$) и перпендикулярную ($\vec{g}_{\perp}$) наклонной плоскости. Модули этих составляющих равны:

$|\vec{g}_{||}| = g \sin \alpha$

$|\vec{g}_{\perp}| = g \cos \alpha$

Ускорение тележки $\vec{a}$ по направлению и модулю совпадает с параллельной составляющей ускорения свободного падения, то есть $\vec{a} = \vec{g}_{||}$.

Подставим это в уравнение для $\vec{T}$:

$\vec{T} = -m((\vec{g}_{||} + \vec{g}_{\perp}) - \vec{g}_{||}) = -m\vec{g}_{\perp}$

4. Полученное векторное равенство $\vec{T} = -m\vec{g}_{\perp}$ позволяет найти обе искомые величины.

Во-первых, оно показывает, что вектор силы натяжения $\vec{T}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{g}_{\perp}$. Вектор $\vec{g}_{\perp}$ перпендикулярен наклонной плоскости и направлен "внутрь" плоскости. Следовательно, нить с шариком устанавливается перпендикулярно наклонной плоскости. Угол между перпендикуляром к наклонной плоскости и вертикалью равен углу наклона самой плоскости $\alpha$. Таким образом, угол отклонения нити от вертикали $\beta$ равен $\alpha$.

Во-вторых, модуль силы натяжения нити $\text{T}$ равен модулю вектора $m\vec{g}_{\perp}$:

$T = |-m\vec{g}_{\perp}| = m |\vec{g}_{\perp}| = mg \cos \alpha$

Ответ: угол отклонения нити от вертикали $\beta = \alpha$; сила натяжения нити $T = mg \cos \alpha$.