Номер 2.19, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.19, страница 16.

Условие.

2.19*. На горизонтальном участке дороги от равномерно движущегося поезда массой $M = 1000$ т оторвался последний вагон массой $m = 40$ т, проехал расстояние $s_B = 200$ м и остановился. Какое расстояние $s_{\text{П}}$ проехал поезд за время торможения вагона? Решите задачу в двух случаях:

а) неизменной осталась скорость поезда;

б) неизменной осталась сила тяги локомотива. В обоих случаях считайте, что сила сопротивления пропорциональна массе.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса поезда, $M = 1000$ т
Масса вагона, $m = 40$ т
Тормозной путь вагона, $s_в = 200$ м

$M = 1000 \cdot 10^3 \text{ кг} = 10^6 \text{ кг}$
$m = 40 \cdot 10^3 \text{ кг}$

Найти:

$s_п$ — расстояние, которое проехал поезд за время торможения вагона.

Решение:

Пусть начальная скорость поезда до отцепки вагона была $v_0$. Так как поезд двигался равномерно, сила тяги локомотива $F_{тяги}$ уравновешивала суммарную силу сопротивления $F_{сопр.полн}$. По условию, сила сопротивления пропорциональна массе, то есть $F_{сопр} = k \cdot (\text{масса})$, где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности. Таким образом, для всего поезда до отцепки: $F_{тяги} = F_{сопр.полн} = kM$.

Рассмотрим движение отцепившегося вагона. После отцепки на него действует только сила сопротивления $F_{сопр.в} = km$. Согласно второму закону Ньютона, ускорение вагона $a_в$ равно:

$ma_в = -F_{сопр.в} \Rightarrow ma_в = -km$

Отсюда ускорение (замедление) вагона постоянно и равно $a_в = -k$.

Вагон прошел тормозной путь $s_в$, двигаясь с начальной скоростью $v_0$ до полной остановки ($v=0$). Для равноускоренного движения справедлива формула:

$s_в = \frac{v^2 - v_0^2}{2a_в} = \frac{0 - v_0^2}{2(-k)} = \frac{v_0^2}{2k}$

Из этого соотношения получаем: $v_0^2 = 2ks_в$.

Время торможения вагона $t_в$ найдем из формулы скорости: $v = v_0 + a_в t_в$.

$0 = v_0 - kt_в \Rightarrow t_в = \frac{v_0}{k}$

Теперь решим задачу для двух указанных случаев.

а) неизменной осталась скорость поезда

Если скорость поезда осталась постоянной, то поезд продолжал двигаться со скоростью $v_п = v_0$ в течение всего времени торможения вагона $t_в$. Расстояние, пройденное поездом, равно:

$s_п = v_п t_в = v_0 t_в = v_0 \cdot \frac{v_0}{k} = \frac{v_0^2}{k}$

Используя найденное ранее соотношение $v_0^2 = 2ks_в$, подставим его в формулу для $s_п$:

$s_п = \frac{2ks_в}{k} = 2s_в$

Вычислим значение:

$s_п = 2 \cdot 200 \text{ м} = 400 \text{ м}$

Ответ: $s_п = 400$ м.

б) неизменной осталась сила тяги локомотива

Сила тяги локомотива осталась прежней, какой она была до отцепки: $F_{тяги} = kM$.

Масса поезда без вагона стала $M_п = M - m$. Сила сопротивления, действующая на оставшуюся часть поезда, теперь равна $F_{сопр.п} = k(M-m)$.

Результирующая сила, действующая на поезд, создает ускорение:

$F_{рез} = F_{тяги} - F_{сопр.п} = kM - k(M-m) = kM - kM + km = km$

Согласно второму закону Ньютона, $F_{рез} = (M-m)a_п$. Тогда ускорение поезда:

$a_п = \frac{F_{рез}}{M-m} = \frac{km}{M-m}$

Поезд движется равноускоренно с начальной скоростью $v_0$ и ускорением $a_п$. Расстояние, которое он проехал за время $t_в$, равно:

$s_п = v_0 t_в + \frac{a_п t_в^2}{2}$

Подставим выражения для $t_в = \frac{v_0}{k}$ и $a_п$:

$s_п = v_0 \left(\frac{v_0}{k}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{km}{M-m}\right) \left(\frac{v_0}{k}\right)^2 = \frac{v_0^2}{k} + \frac{1}{2} \frac{km v_0^2}{(M-m)k^2} = \frac{v_0^2}{k} + \frac{m}{2(M-m)} \frac{v_0^2}{k}$

Вынесем общий множитель $\frac{v_0^2}{k}$, который, как мы знаем, равен $2s_в$:

$s_п = \frac{v_0^2}{k} \left(1 + \frac{m}{2(M-m)}\right) = 2s_в \left(1 + \frac{m}{2(M-m)}\right) = 2s_в + \frac{s_в m}{M-m}$

Приведем к общему знаменателю:

$s_п = \frac{2s_в(M-m) + s_в m}{M-m} = \frac{s_в(2M - 2m + m)}{M-m} = s_в \frac{2M-m}{M-m}$

Подставим числовые значения (можно использовать массы в тоннах, так как в формуле используется их отношение):

$s_п = 200 \cdot \frac{2 \cdot 1000 - 40}{1000 - 40} = 200 \cdot \frac{1960}{960} = 200 \cdot \frac{196}{96} = 200 \cdot \frac{49}{24} = \frac{2450}{6} = \frac{1225}{3} \approx 408.33 \text{ м}$

Ответ: $s_п = \frac{1225}{3} \text{ м} \approx 408.3$ м.