Номер 2.12, страница 15 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.12, страница 15.

Условие.

2.12* Два груза массами $M_1$ и $M_2$, связанные шнуром, лежат на горизонтальной поверхности. Шнур выдерживает силу натяжения $\text{T}$. Коэффициент трения между каждым из грузов и поверхностью равен $\mu$. С какой постоянной силой $\text{F}$ можно тянуть первый груз параллельно шнуру, чтобы шнур не разорвался?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого груза: $M_1$

Масса второго груза: $M_2$

Максимальная сила натяжения шнура: $\text{T}$

Коэффициент трения: $\mu$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Максимальную постоянную силу $\text{F}$, с которой можно тянуть первый груз.

Решение:

Чтобы шнур не разорвался, сила натяжения в нем $T_{actual}$ не должна превышать максимальное значение $\text{T}$, то есть $T_{actual} \le T$. Максимальная приложенная сила $\text{F}$ будет соответствовать максимальной силе натяжения шнура, поэтому в расчетах будем использовать $T_{actual} = T$.

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз в горизонтальном направлении. Поскольку грузы связаны, они движутся с одинаковым ускорением $\text{a}$. Направим ось $\text{OX}$ в сторону движения.

Запишем второй закон Ньютона для второго груза (массой $M_2$). На него действуют сила натяжения шнура $\text{T}$ (вперед) и сила трения скольжения $F_{тр2}$ (назад). Сила нормальной реакции $N_2 = M_2 g$, поэтому сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu M_2 g$.

$T - F_{тр2} = M_2 a$

$T - \mu M_2 g = M_2 a$ (1)

Из этого уравнения можно выразить ускорение системы. Движение возможно только если $T > \mu M_2 g$.

$a = \frac{T - \mu M_2 g}{M_2}$

Теперь запишем второй закон Ньютона для первого груза (массой $M_1$). На него действуют приложенная сила $\text{F}$ (вперед), сила натяжения шнура $\text{T}$ (назад) и сила трения скольжения $F_{тр1}$ (назад). Сила нормальной реакции $N_1 = M_1 g$, поэтому сила трения $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu M_1 g$.

$F - T - F_{тр1} = M_1 a$

$F - T - \mu M_1 g = M_1 a$ (2)

Подставим выражение для ускорения $\text{a}$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$F - T - \mu M_1 g = M_1 \left( \frac{T - \mu M_2 g}{M_2} \right)$

Теперь выразим искомую силу $\text{F}$:

$F = T + \mu M_1 g + M_1 \left( \frac{T - \mu M_2 g}{M_2} \right)$

$F = T + \mu M_1 g + \frac{M_1}{M_2} T - \frac{M_1 \mu M_2 g}{M_2}$

$F = T + \mu M_1 g + \frac{M_1}{M_2} T - \mu M_1 g$

Слагаемые $\mu M_1 g$ и $-\mu M_1 g$ взаимно уничтожаются:

$F = T + \frac{M_1}{M_2} T$

Вынесем $\text{T}$ за скобки и приведем выражение к общему знаменателю:

$F = T \left( 1 + \frac{M_1}{M_2} \right) = T \frac{M_2 + M_1}{M_2}$

Ответ: Максимальная постоянная сила, с которой можно тянуть первый груз, чтобы шнур не разорвался, равна $F = T \frac{M_1 + M_2}{M_2}$.