Номер 2.8, страница 15 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.8, страница 15.

Условие.

2.8. На однородный стержень длиной $\text{l}$ действуют две растягивающие силы $F_1$ и $F_2$, приложенные к его концам. С какой силой $\text{F}$ растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии $\text{x}$ от точки приложения силы $F_1$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина однородного стержня: $\text{l}$

Растягивающая сила, приложенная к одному концу: $F_1$

Растягивающая сила, приложенная к другому концу: $F_2$

Расстояние от точки приложения силы $F_1$ до сечения: $\text{x}$

Найти:

Силу натяжения $\text{F}$ в указанном сечении стержня.

Решение:

Рассмотрим наиболее общий случай, когда стержень может двигаться с ускорением под действием приложенных сил. Пусть масса стержня равна $\text{m}$, а его линейная плотность (масса на единицу длины) $\rho = m/l$.

Направим ось координат $\text{Ox}$ вдоль стержня, так что точка приложения силы $F_1$ находится в $x=0$, а точка приложения силы $F_2$ — в $x=l$. Будем считать, что обе силы являются растягивающими, то есть сила $F_1$ направлена в сторону отрицательных значений оси $\text{Ox}$, а сила $F_2$ — в сторону положительных.

Суммарная внешняя сила, действующая на стержень, равна $F_{внешн} = F_2 - F_1$. Согласно второму закону Ньютона, ускорение стержня равно:

$a = \frac{F_{внешн}}{m} = \frac{F_2 - F_1}{m} = \frac{F_2 - F_1}{\rho l}$

Для нахождения внутренней силы натяжения $\text{F}$ в сечении на расстоянии $\text{x}$ от конца, к которому приложена сила $F_1$, воспользуемся методом сечений. Мысленно разрежем стержень в этой точке и рассмотрим левую часть стержня длиной $\text{x}$.

Масса этой части стержня равна $m_x = \rho x$.

На эту часть действуют две силы в проекции на ось $\text{Ox}$: внешняя сила $-F_1$ и сила натяжения $\text{F}$ со стороны правой части стержня. Сила $\text{F}$ будет направлена вправо (по оси $\text{Ox}$), так как стержень растянут. Таким образом, результирующая сила, действующая на левую часть, равна $F_{рез,x} = F - F_1$.

Применяя второй закон Ньютона к левой части стержня, получаем:

$F - F_1 = m_x \cdot a = (\rho x) \cdot \left(\frac{F_2 - F_1}{\rho l}\right)$

Сокращая $\rho$, получаем:

$F - F_1 = \frac{x}{l}(F_2 - F_1)$

Отсюда выражаем искомую силу натяжения $\text{F}$:

$F = F_1 + \frac{x}{l}(F_2 - F_1)$

Эту формулу можно представить в виде $F(x) = F_1 \left(1 - \frac{x}{l}\right) + F_2 \frac{x}{l}$. Это общее решение, которое показывает, что в случае ускоренного движения ($F_1 \neq F_2$) сила натяжения линейно изменяется вдоль стержня.

Однако, как правило, в задачах по статике предполагается, что тело находится в равновесии. Условием равновесия является равенство нулю суммарной внешней силы, то есть $F_{внешн} = F_2 - F_1 = 0$, откуда следует, что $F_1 = F_2$.

Подставим это условие равновесия в полученную общую формулу для $\text{F}$:

$F = F_1 + \frac{x}{l}(F_1 - F_1) = F_1 + 0 = F_1$

Таким образом, если стержень находится в равновесии, сила натяжения в любом его сечении одинакова и равна величине приложенных к его концам сил.

Ответ: В общем случае, если стержень движется с ускорением ($F_1 \neq F_2$), сила натяжения в сечении зависит от расстояния $\text{x}$ и вычисляется по формуле $F(x) = F_1 + (F_2 - F_1)\frac{x}{l}$. Однако, если стержень находится в равновесии (что обычно подразумевается в таких задачах), то внешние силы должны быть равны, $F_1 = F_2$. В этом наиболее вероятном случае сила натяжения $\text{F}$ одинакова в любом сечении стержня и равна $F = F_1 = F_2$.