Номер 2.7, страница 14 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.7, страница 14.

Условие.

2.7. Найдите ускорения $a_1$ и $a_2$ показанных на рисунке грузов и силу натяжения нити $\text{T}$.

К задаче 2.7

Решение.

Решение 2.

Решение

Для решения задачи введем систему координат с осью OY, направленной вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на эту ось, а также учтем кинематическую связь их движений. Будем считать нить и блоки идеальными (невесомыми, нить нерастяжима, трения нет).

Уравнения движения для грузов:
Для груза $m_1$:
$m_1 a_1 = m_1 g - T$ (1)
Для груза $m_2$, к которому через подвижный блок приложены две ветви нити:
$m_2 a_2 = m_2 g - 2T$ (2)

Кинематическая связь ускорений. Если груз $m_2$ смещается на расстояние $y_2$, то длина нити, перекинутой через подвижный блок, изменяется на $2y_2$. Это изменение компенсируется смещением $y_1$ груза $m_1$. При этом, если один груз опускается, другой поднимается. Связь их смещений: $y_1 = -2y_2$. Дважды продифференцировав это соотношение по времени, получим связь ускорений:
$a_1 = -2a_2$ (3)

Мы получили систему из трех линейных уравнений (1), (2) и (3) с тремя неизвестными: $a_1$, $a_2$ и $\text{T}$.

ускорения $a_1$ и $a_2$

Для нахождения ускорений решим полученную систему. Сначала выразим силу натяжения $\text{T}$ из уравнения (1), подставив в него (3):
$m_1 (-2a_2) = m_1 g - T$
$T = m_1 g + 2m_1 a_2$ (4)
Теперь подставим это выражение для $\text{T}$ в уравнение (2):
$m_2 a_2 = m_2 g - 2(m_1 g + 2m_1 a_2)$
$m_2 a_2 = m_2 g - 2m_1 g - 4m_1 a_2$
Соберем слагаемые с $a_2$ в левой части:
$m_2 a_2 + 4m_1 a_2 = g(m_2 - 2m_1)$
$a_2 (4m_1 + m_2) = g(m_2 - 2m_1)$
Отсюда находим ускорение $a_2$:
$a_2 = g \frac{m_2 - 2m_1}{4m_1 + m_2}$
Используя связь (3), находим ускорение $a_1$:
$a_1 = -2a_2 = -2g \frac{m_2 - 2m_1}{4m_1 + m_2} = 2g \frac{2m_1 - m_2}{4m_1 + m_2}$
Полученные значения являются проекциями векторов ускорения на ось OY (вниз). Положительное значение соответствует ускорению вниз, отрицательное — вверх.

Ответ: $a_1 = 2g \frac{2m_1 - m_2}{4m_1 + m_2}$; $a_2 = g \frac{m_2 - 2m_1}{4m_1 + m_2}$.

сила натяжения нити T

Для нахождения силы натяжения нити $\text{T}$ подставим найденное выражение для $a_2$ в уравнение (4):
$T = m_1 g + 2m_1 a_2 = m_1 g + 2m_1 \left( g \frac{m_2 - 2m_1}{4m_1 + m_2} \right)$
Вынесем $m_1 g$ за скобки и приведем к общему знаменателю:
$T = m_1 g \left( 1 + \frac{2(m_2 - 2m_1)}{4m_1 + m_2} \right) = m_1 g \left( \frac{4m_1 + m_2 + 2m_2 - 4m_1}{4m_1 + m_2} \right)$
$T = m_1 g \left( \frac{3m_2}{4m_1 + m_2} \right) = \frac{3m_1 m_2 g}{4m_1 + m_2}$

Ответ: $T = \frac{3m_1 m_2 g}{4m_1 + m_2}$.