Номер 2.6, страница 14 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.6, страница 14.

Условие.

2.6*. Через блок, укрепленный на ребре призмы (см. рисунок), перекинута нить с грузами на концах. Найдите ускорение грузов $\text{a}$ и силу натяжения нити $\text{T}$. Трением можно пренебречь.

К задаче 2.6

Решение.

Решение 2.

Дано:

Массы грузов: $m_1, m_2$.

Углы наклона плоскостей призмы: $\alpha, \beta$.

Ускорение свободного падения: $\text{g}$.

Трение, масса блока и нити пренебрежимо малы.

Найти:

$\text{a}$ — ?

$\text{T}$ — ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз, и применим второй закон Ньютона. Направим оси координат вдоль наклонных плоскостей, по направлению возможного движения. Поскольку нить нерастяжима и идеальна, а блок невесом и без трения, модули ускорений грузов равны ($\text{a}$), и сила натяжения нити ($\text{T}$) одинакова по всей длине.

Предположим, что система движется так, что груз $m_2$ перевешивает, то есть груз $m_2$ скользит вниз по плоскости с углом $\beta$, а груз $m_1$ поднимается вверх по плоскости с углом $\alpha$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на выбранные оси для каждого груза:

1. Для груза $m_1$:

Ось направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Проекция силы тяжести равна $m_1 g \sin(\alpha)$ и направлена вниз. Сила натяжения $\text{T}$ направлена вверх. Уравнение движения:

$m_1 a = T - m_1 g \sin(\alpha)$ (1)

2. Для груза $m_2$:

Ось направлена вниз вдоль наклонной плоскости. Проекция силы тяжести равна $m_2 g \sin(\beta)$ и направлена вниз. Сила натяжения $\text{T}$ направлена вверх. Уравнение движения:

$m_2 a = m_2 g \sin(\beta) - T$ (2)

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{T}$:

$ \begin{cases} m_1 a = T - m_1 g \sin(\alpha) \\ m_2 a = m_2 g \sin(\beta) - T \end{cases} $

Ускорение грузов a

Чтобы найти ускорение, сложим уравнения (1) и (2). Это позволит исключить неизвестную силу натяжения $\text{T}$.

$m_1 a + m_2 a = (T - m_1 g \sin(\alpha)) + (m_2 g \sin(\beta) - T)$

$(m_1 + m_2) a = m_2 g \sin(\beta) - m_1 g \sin(\alpha)$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{m_2 g \sin(\beta) - m_1 g \sin(\alpha)}{m_1 + m_2} = g \frac{m_2 \sin(\beta) - m_1 \sin(\alpha)}{m_1 + m_2}$

Ответ: $a = g \frac{m_2 \sin(\beta) - m_1 \sin(\alpha)}{m_1 + m_2}$

Сила натяжения нити T

Для нахождения силы натяжения нити $\text{T}$ выразим ее из уравнения (1):

$T = m_1 a + m_1 g \sin(\alpha)$

Подставим в это выражение найденное значение ускорения $\text{a}$:

$T = m_1 \left( g \frac{m_2 \sin(\beta) - m_1 \sin(\alpha)}{m_1 + m_2} \right) + m_1 g \sin(\alpha)$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $(m_1 + m_2)$:

$T = \frac{m_1 g (m_2 \sin(\beta) - m_1 \sin(\alpha)) + m_1 g \sin(\alpha) (m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}$

Раскроем скобки в числителе:

$T = \frac{m_1 m_2 g \sin(\beta) - m_1^2 g \sin(\alpha) + m_1^2 g \sin(\alpha) + m_1 m_2 g \sin(\alpha)}{m_1 + m_2}$

Сократим подобные члены ($- m_1^2 g \sin(\alpha)$ и $+ m_1^2 g \sin(\alpha)$):

$T = \frac{m_1 m_2 g \sin(\beta) + m_1 m_2 g \sin(\alpha)}{m_1 + m_2}$

Вынесем общий множитель $m_1 m_2 g$ за скобки, чтобы получить окончательный вид:

$T = \frac{m_1 m_2 g (\sin(\alpha) + \sin(\beta))}{m_1 + m_2}$

Ответ: $T = \frac{m_1 m_2 g (\sin(\alpha) + \sin(\beta))}{m_1 + m_2}$