Номер 2.16, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.16, страница 16.

Условие.

2.16. Из верхней точки вертикального диска радиусом $\text{R}$ прорезан желоб (см. рисунок). Как зависит время $\text{t}$ скольжения грузика по желобу от угла $\beta$? Трением можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус диска: $\text{R}$

Угол наклона желоба к вертикали: $\beta$

Начальная скорость грузика: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Трение отсутствует.

Найти:

Зависимость времени скольжения $\text{t}$ от угла $\beta$, то есть $t(\beta)$.

Решение:

Движение грузика по желобу является равноускоренным, так как на него действует постоянная составляющая силы тяжести. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, определяется формулой:

$s = \frac{at^2}{2}$

Отсюда можно выразить время движения:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Чтобы найти зависимость $t(\beta)$, необходимо выразить длину желоба $\text{s}$ и ускорение грузика $\text{a}$ через угол $\beta$ и радиус $\text{R}$.

1. Найдем ускорение $\text{a}$.

На грузик действует сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз. Ускорение грузику придает проекция силы тяжести на направление желоба. Угол между направлением силы тяжести (вертикалью) и направлением желоба по условию равен $\beta$.

Проекция силы тяжести на ось, совпадающую с желобом, равна $F_{proj} = mg \cos(\beta)$.

Согласно второму закону Ньютона, $F_{proj} = ma$.

$ma = mg \cos(\beta)$

Следовательно, ускорение грузика равно:

$a = g \cos(\beta)$

2. Найдем длину желоба $\text{s}$.

Желоб является хордой окружности. Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются: верхняя точка диска (начало желоба), нижняя точка диска и конечная точка желоба. Этот треугольник является прямоугольным, так как он вписан в окружность и одна из его сторон (вертикальный диаметр) является диаметром этой окружности.

В этом прямоугольном треугольнике:

• гипотенуза — это диаметр диска, равный $\text{2R}$;
• один из катетов — это длина желоба $\text{s}$;
• прилежащий к катету $\text{s}$ угол — это угол $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике следует:

$s = 2R \cos(\beta)$

3. Найдем время движения $\text{t}$.

Подставим полученные выражения для $\text{s}$ и $\text{a}$ в формулу для времени:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot (2R \cos(\beta))}{g \cos(\beta)}}$

Сократим $ \cos(\beta) $ в числителе и знаменателе:

$t = \sqrt{\frac{4R}{g}} = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$

Как видно из полученного выражения, время скольжения грузика по желобу не зависит от угла $\beta$.

Ответ: Время скольжения грузика по желобу не зависит от угла $\beta$ и является постоянной величиной, равной $t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$.