Номер 2.23, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.23, страница 16.

Условие.

2.23*. По наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, скользит без трения сосуд с водой. Найдите форму поверхности воды в сосуде.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сосуд с водой скользит без трения по наклонной плоскости.
Угол наклона плоскости к горизонту: $ \alpha $.
Ускорение свободного падения: $ g $.

Найти:

Форму свободной поверхности воды в сосуде.

Решение:

Рассмотрим движение воды в неинерциальной системе отсчета, связанной с движущимся сосудом. Эта система отсчета движется с ускорением $\vec{a}$ относительно инерциальной системы отсчета (Земли).

Поскольку сосуд скользит по наклонной плоскости без трения, на него действует только составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости. Согласно второму закону Ньютона:

$Ma = Mg \sin\alpha$

где $\text{M}$ – общая масса сосуда с водой. Отсюда ускорение сосуда равно:

$a = g \sin\alpha$

Ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль наклонной плоскости вниз.

В неинерциальной системе отсчета на любую частицу воды массой $\text{m}$ действует, помимо силы тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, еще и сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$. Сила инерции направлена противоположно ускорению системы отсчета, то есть вверх вдоль наклонной плоскости.

Свободная поверхность жидкости в состоянии равновесия всегда перпендикулярна равнодействующей всех массовых сил, действующих на жидкость. В нашем случае равнодействующая сила, действующая на частицу воды, равна векторной сумме силы тяжести и силы инерции:

$\vec{F}_{равн} = \vec{F_g} + \vec{F}_{ин} = m\vec{g} - m\vec{a}$

Найдем направление вектора $\vec{g}_{эфф} = \vec{g} - \vec{a}$, который определяет "эффективное" ускорение свободного падения в движущейся системе отсчета.

Для удобства выберем систему координат, в которой ось $\text{Ox}$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $\text{Oy}$ – перпендикулярно ей вверх. В этой системе координат:

Вектор ускорения сосуда: $\vec{a} = (a, 0) = (g \sin\alpha, 0)$.

Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ имеет две составляющие: проекцию на ось $\text{Ox}$ ($g_x = g \sin\alpha$) и проекцию на ось $\text{Oy}$ ($g_y = -g \cos\alpha$, так как она направлена вниз, перпендикулярно плоскости). Таким образом, $\vec{g} = (g \sin\alpha, -g \cos\alpha)$.

Теперь найдем вектор "эффективного" ускорения:

$\vec{g}_{эфф} = \vec{g} - \vec{a} = (g \sin\alpha - g \sin\alpha, -g \cos\alpha - 0) = (0, -g \cos\alpha)$

Этот результат показывает, что вектор эффективного ускорения $\vec{g}_{эфф}$ направлен строго по оси $\text{Oy}$ вниз, то есть перпендикулярно наклонной плоскости.

Поскольку свободная поверхность жидкости устанавливается перпендикулярно вектору равнодействующей массовой силы (или вектору $\vec{g}_{эфф}$), то поверхность воды будет перпендикулярна оси $\text{Oy}$. Это означает, что поверхность воды будет параллельна оси $\text{Ox}$, то есть параллельна наклонной плоскости.

Таким образом, свободная поверхность воды примет форму плоскости, параллельной наклонной плоскости.

Ответ: Свободная поверхность воды в сосуде представляет собой плоскость, параллельную наклонной плоскости.