Номер 2.30, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.30, страница 17.

Условие.

2.30. Шарик, подвешенный на нити длиной $\text{l}$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить все время образует с вертикалью угол $\varphi$ (такую систему называют коническим маятником). Найдите период $\text{T}$ вращения шарика.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина нити: $\text{l}$
Угол с вертикалью: $\phi$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Период вращения $\text{T}$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на шарик. Это сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $F_T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Шарик движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости, следовательно, равнодействующая всех сил, приложенных к шарику, является центростремительной силой, направленной к центру окружности.

Введём систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Разложим силу натяжения нити $F_T$ на две составляющие:

• Вертикальная составляющая: $F_{Ty} = F_T \cos\phi$
• Горизонтальная составляющая: $F_{Tx} = F_T \sin\phi$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.
По оси OY движение отсутствует, поэтому сумма проекций сил равна нулю:
$F_{Ty} - mg = 0$
$F_T \cos\phi = mg$ (1)

По оси OX равнодействующая сил равна произведению массы на центростремительное ускорение $a_c$:
$F_{Tx} = ma_c$
$F_T \sin\phi = ma_c$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить силу натяжения $F_T$ и массу $\text{m}$:
$\frac{F_T \sin\phi}{F_T \cos\phi} = \frac{ma_c}{mg}$
$\tan\phi = \frac{a_c}{g}$
Отсюда выразим центростремительное ускорение:
$a_c = g \tan\phi$

Центростремительное ускорение также связано с периодом вращения $\text{T}$ и радиусом окружности $\text{r}$ формулой:
$a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$
Радиус окружности $\text{r}$ можно выразить через длину нити $\text{l}$ и угол $\phi$ из геометрии системы:
$r = l \sin\phi$

Подставим выражение для радиуса в формулу для ускорения:
$a_c = \frac{4\pi^2 l \sin\phi}{T^2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для центростремительного ускорения $a_c$:
$g \tan\phi = \frac{4\pi^2 l \sin\phi}{T^2}$
Заменим $\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}$:
$g \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{4\pi^2 l \sin\phi}{T^2}$

Поскольку шарик движется по окружности, угол $\phi \neq 0$ и $\sin\phi \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\sin\phi$:
$\frac{g}{\cos\phi} = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Выразим из этого уравнения $T^2$:
$T^2 = \frac{4\pi^2 l \cos\phi}{g}$

Наконец, извлекая квадратный корень, находим период вращения шарика:
$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 l \cos\phi}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\phi}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\phi}{g}}$