Номер 2.31, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.31, страница 17.

Условие.

2.31. На диске проигрывателя установлен вертикальный стержень, к которому подвешен шарик на нити длиной $l = 48$ см. Расстояние стержня от оси вращения диска $r = 10$ см. После включения проигрывателя нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha = 45^\circ$. Найдите угловую скорость $\omega$ и частоту $\text{n}$ вращения диска.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина нити, $l = 48$ см

Расстояние стержня от оси вращения, $r = 10$ см

Угол отклонения нити, $\alpha = 45°$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

---

Перевод в СИ:

$l = 0.48$ м

$r = 0.10$ м

Найти:

Угловую скорость, $\omega$ - ?

Частоту вращения, $\text{n}$ - ?

Решение:

Когда диск проигрывателя вращается, шарик движется по горизонтальной окружности. На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY и горизонтальную ось OX (направленную к центру вращения).

Проекция на ось OY (вертикальная):

Сумма сил в вертикальном направлении равна нулю, так как шарик не движется по вертикали.

$T_y - mg = 0$

$T \cos(\alpha) = mg$ (1)

Проекция на ось OX (горизонтальная):

Горизонтальная составляющая силы натяжения нити является центростремительной силой.

$T_x = ma_c$

$T \sin(\alpha) = ma_c$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить силу натяжения $\text{T}$ и массу $\text{m}$:

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{ma_c}{mg}$

$\tan(\alpha) = \frac{a_c}{g}$

Отсюда находим центростремительное ускорение:

$a_c = g \tan(\alpha)$

Центростремительное ускорение также выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $\text{R}$ как $a_c = \omega^2 R$.

Радиус $\text{R}$, по которому движется шарик, равен сумме расстояния стержня от оси вращения $\text{r}$ и горизонтальной проекции длины нити:

$R = r + l \sin(\alpha)$

Приравняем два выражения для $a_c$:

$\omega^2 R = g \tan(\alpha)$

$\omega^2 (r + l \sin(\alpha)) = g \tan(\alpha)$

Теперь выразим угловую скорость $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{g \tan(\alpha)}{r + l \sin(\alpha)}}$

Подставим числовые значения. Учтем, что $\tan(45°) = 1$ и $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

$\omega = \sqrt{\frac{9.8 \cdot 1}{0.10 + 0.48 \cdot \sin(45°)}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.10 + 0.48 \cdot 0.707}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.10 + 0.339}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.439}} \approx \sqrt{22.32} \approx 4.72$ рад/с

Частота вращения $\text{n}$ связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $\omega = 2\pi n$. Отсюда:

$n = \frac{\omega}{2\pi}$

$n \approx \frac{4.72}{2 \cdot 3.14} = \frac{4.72}{6.28} \approx 0.75$ Гц

Ответ: угловая скорость $\omega \approx 4.72$ рад/с, частота вращения $n \approx 0.75$ Гц.