Номер 2.34, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.34, страница 18.

Условие.

2.34*. Металлическая замкнутая цепочка длиной $l = 62,8 \text{ см}$ насажена на диск. Диск раскручивают с помощью электродвигателя. Когда частота вращения диска достигает $n = 60 \text{ с}^{-1}$, цепочка соскакивает с диска. Она ведет себя как жесткий обруч: может, например, катиться по столу, пока вращение не замедлится. Какова сила $\text{T}$ натяжения цепочки в тот момент, когда она соскакивает с диска? Масса цепочки $m = 40 \text{ г.}$

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина цепочки, $l = 62,8 \text{ см}$

Частота вращения, $n = 60 \text{ с}^{-1}$

Масса цепочки, $m = 40 \text{ г}$

$l = 0,628 \text{ м}$
$m = 0,04 \text{ кг}$

Найти:

Силу натяжения цепочки, $\text{T}$.

Решение:

Когда замкнутая цепочка вращается, она приобретает форму окружности. Сила натяжения $\text{T}$, существующая в цепочке, создает центростремительную силу, которая необходима для удержания элементов цепочки на круговой траектории.

Рассмотрим малый элемент цепочки массой $\text{dm}$, который стягивает дугу с центральным углом $d\alpha$. На этот элемент действуют две силы натяжения $\text{T}$, приложенные к его концам и направленные по касательной. Равнодействующая этих двух сил направлена к центру окружности и создает центростремительное ускорение. Величина этой равнодействующей силы $dF_c$ для малого угла $d\alpha$ равна $dF_c = T d\alpha$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы элемента $\text{dm}$ на его центростремительное ускорение $a_c$: $dF_c = dm \cdot a_c$.

Центростремительное ускорение определяется как $a_c = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения, а $\text{R}$ — радиус окружности.

Массу элемента $\text{dm}$ можно выразить через линейную плотность $\rho = m/l$ и длину элемента $dl = R d\alpha$: $dm = \rho \, dl = (m/l) R \, d\alpha$.

Приравнивая выражения для центростремительной силы, получаем:

$T d\alpha = (dm) a_c = \left( \frac{m}{l} R \, d\alpha \right) (\omega^2 R)$

Сокращая $d\alpha$ в обеих частях уравнения, находим выражение для силы натяжения:

$T = \frac{m}{l} \omega^2 R^2$

Угловую скорость $\omega$ можно выразить через частоту вращения $\text{n}$: $\omega = 2\pi n$.

Радиус вращения $\text{R}$ связан с длиной цепочки $\text{l}$ (которая является длиной окружности): $l = 2\pi R$, откуда $R = \frac{l}{2\pi}$.

Подставим выражения для $\omega$ и $\text{R}$ в формулу для $\text{T}$:

$T = \frac{m}{l} (2\pi n)^2 \left( \frac{l}{2\pi} \right)^2 = \frac{m}{l} (4\pi^2 n^2) \left( \frac{l^2}{4\pi^2} \right)$

После сокращения одинаковых членов получаем простую формулу для расчета силы натяжения:

$T = m l n^2$

Выполним вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$T = 0,04 \text{ кг} \cdot 0,628 \text{ м} \cdot (60 \text{ с}^{-1})^2 = 0,04 \cdot 0,628 \cdot 3600 \text{ Н} = 90,432 \text{ Н}$.

Округлим результат с учётом точности исходных данных (три значащие цифры в значении длины $\text{l}$).

Ответ: $T \approx 90,4 \text{ Н}$.