Номер 3.12, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.12, страница 19.

Условие.

3.12. На экваторе некоторой планеты тела весят втрое меньше, чем на полюсе. Период обращения этой планеты вокруг своей оси $T = 55 \text{ мин}$. Найдите плотность $\rho$ планеты, считая ее однородным шаром.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\frac{P_{пол}}{P_{экв}} = 3$

$T = 55 \text{ мин}$

Перевод в СИ:
$T = 55 \cdot 60 \text{ с} = 3300 \text{ с}$

Найти:

$\rho$

Решение:

Вес тела на полюсе планеты $P_{пол}$ равен силе гравитационного притяжения $F_г$, поскольку на полюсе тело не испытывает действия центробежной силы из-за вращения планеты.

$P_{пол} = F_г = G \frac{Mm}{R^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная ($G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$), $\text{M}$ – масса планеты, $\text{m}$ – масса тела, $\text{R}$ – радиус планеты.

На экваторе вес тела $P_{экв}$ уменьшается за счет центробежной силы $F_ц$, направленной от центра планеты. Вес на экваторе равен разности силы тяжести и центробежной силы:

$P_{экв} = F_г - F_ц = G \frac{Mm}{R^2} - m a_ц$

Здесь $a_ц$ – центростремительное ускорение, которое для точки на экваторе равно $a_ц = \omega^2 R$. Угловая скорость вращения планеты $\omega$ связана с периодом обращения $\text{T}$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Таким образом, вес на экваторе можно записать как:

$P_{экв} = P_{пол} - m \omega^2 R$

Согласно условию задачи, вес на экваторе втрое меньше веса на полюсе:

$P_{экв} = \frac{1}{3} P_{пол}$

Подставим это соотношение в уравнение для веса на экваторе:

$\frac{1}{3} P_{пол} = P_{пол} - m \omega^2 R$

Отсюда находим связь между весом на полюсе и центробежной силой:

$m \omega^2 R = P_{пол} - \frac{1}{3} P_{пол} = \frac{2}{3} P_{пол}$

Теперь подставим выражение для $P_{пол}$:

$m \omega^2 R = \frac{2}{3} G \frac{Mm}{R^2}$

Сокращаем массу тела $\text{m}$ с обеих сторон:

$\omega^2 R = \frac{2}{3} G \frac{M}{R^2}$

Массу планеты $\text{M}$ выразим через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Поскольку планета считается однородным шаром, ее объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Тогда масса $M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставляем выражение для массы в наше уравнение:

$\omega^2 R = \frac{2}{3} G \frac{\rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2}$

$\omega^2 R = \frac{8}{9} \pi G \rho R$

Сокращаем радиус планеты $\text{R}$:

$\omega^2 = \frac{8}{9} \pi G \rho$

Подставляем $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{8}{9} \pi G \rho$

Теперь выражаем плотность $\rho$:

$\rho = \frac{4\pi^2}{T^2} \cdot \frac{9}{8\pi G} = \frac{9\pi}{2GT^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\rho = \frac{9 \cdot 3.14159}{2 \cdot 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (3300 \text{ с})^2} \approx \frac{28.274}{13.348 \cdot 10^{-11} \cdot 10890000} \approx \frac{28.274}{1.4536 \cdot 10^{-3}} \approx 19450 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$\rho \approx 1.95 \times 10^4 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность планеты $\rho \approx 1.95 \times 10^4 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.