Номер 4.2, страница 20 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.2, страница 20.

Условие.

4.2*. Струя сечением $S = 6 \, \text{см}^2$ ударяет из брандспойта в стенку под углом $\alpha = 60^\circ$ к нормали и под тем же углом упруго отражается от нее. Скорость струи $v = 15 \, \text{м/с}$. С какой силой $\text{F}$ струя давит на стену?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$S = 6\text{ см}^2 = 6 \cdot 10^{-4}\text{ м}^2$

$\alpha = 60^\circ$

$v = 15\text{ м/с}$

$\rho \approx 1000\text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

Найти:

$\text{F}$ - сила давления струи на стену.

Решение:

Сила, с которой струя давит на стену, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой стена действует на струю. Силу действия стены на струю можно найти через изменение импульса воды. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила равна скорости изменения импульса:

$\vec{F}_{стены} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$

Рассмотрим массу воды $\Delta m$, которая ударяется о стену за промежуток времени $\Delta t$. Эта масса содержится в объеме $\Delta V$, представляющем собой цилиндр с площадью основания $\text{S}$ и длиной $L = v \Delta t$.

$\Delta m = \rho \cdot \Delta V = \rho \cdot S \cdot L = \rho S v \Delta t$

Введем систему координат. Направим ось OY перпендикулярно стене (по нормали) от стены, а ось OX – параллельно стене. Угол $\alpha$ дан к нормали.

Проекция скорости струи на оси до удара:

$v_{1x} = v \sin\alpha$

$v_{1y} = -v \cos\alpha$ (направлена к стене)

Поскольку удар упругий, модуль скорости не меняется, а угол отражения равен углу падения. Проекции скорости после удара:

$v_{2x} = v \sin\alpha$

$v_{2y} = v \cos\alpha$ (направлена от стены)

Изменение импульса массы воды $\Delta m$ равно $\Delta \vec{p} = \Delta m (\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$. Найдем проекции изменения импульса:

$\Delta p_x = \Delta m (v_{2x} - v_{1x}) = \Delta m (v \sin\alpha - v \sin\alpha) = 0$

$\Delta p_y = \Delta m (v_{2y} - v_{1y}) = \Delta m (v \cos\alpha - (-v \cos\alpha)) = 2 \Delta m v \cos\alpha$

Полное изменение импульса направлено перпендикулярно стене, и его модуль равен $\Delta p = \Delta p_y = 2 \Delta m v \cos\alpha$.

Подставим выражение для массы $\Delta m$:

$\Delta p = 2 (\rho S v \Delta t) v \cos\alpha = 2 \rho S v^2 \cos\alpha \Delta t$

Тогда сила, действующая на струю со стороны стены, равна:

$F_{стены} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2 \rho S v^2 \cos\alpha \Delta t}{\Delta t} = 2 \rho S v^2 \cos\alpha$

Сила $\text{F}$, с которой струя давит на стену, равна по модулю $F_{стены}$:

$F = 2 \rho S v^2 \cos\alpha$

Подставим числовые значения:

$F = 2 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot (15 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 \cdot \cos(60^\circ)$

$F = 2 \cdot 1000 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 \cdot 0.5$

$F = (2 \cdot 0.5) \cdot 1000 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 = 1 \cdot 1.2 \cdot 225 = 270 \text{ Н}$

Проверим вычисления:$F = 2 \cdot 1000 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 \cdot 0.5 = 1200 \cdot 10^{-4} \cdot 225 \cdot 1 = 1.2 \cdot 225 = 270 \text{ Н}$.Да, расчет верен. Ошибка в предыдущем черновом расчете.$F = (2 \cdot 0.5) \cdot 1000 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 = 1 \cdot 10^3 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 = 6 \cdot 10^{-1} \cdot 225 = 0.6 \cdot 225 = 135 \text{ Н}$.Да, вот теперь верно.$2 \cdot 1000 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 \cdot 0.5 = (2 \cdot 0.5) \cdot 1000 \cdot (6 \cdot 10^{-4}) \cdot 225 = 1 \cdot 10^3 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \cdot 225 = 6 \cdot 10^{-1} \cdot 225 = 0.6 \cdot 225 = 135 \text{ Н}$.

Ответ: $F = 135\text{ Н}$