Номер 4.4, страница 20 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.4, страница 20.

Условие.

4.4*. Ракета влетает в пылевое облако со скоростью $\text{v}$ относительно облака. Пылинки оказались липкими: они соударялись с ракетой неупруго. Чтобы скорость движения не изменялась, пришлось включить двигатель, развивающий силу тяги $\text{F}$. Какая была бы нужна сила тяги для сохранения скорости, если бы:

а) ракета влетела в то же облако со скоростью $\text{2v}$;

б) влетела со скоростью $\text{v}$ в другое облако, где концентрация частиц (т. е. число частиц в единице объема) в три раза больше?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость ракеты: $\text{v}$
Сила тяги двигателя для поддержания скорости $\text{v}$: $\text{F}$
Концентрация пылинок в первом облаке: $\text{n}$
Масса одной пылинки: $m_0$
Площадь поперечного сечения ракеты: $\text{S}$
a) Новая скорость: $v_a = 2v$
б) Новая концентрация пылинок: $n_b = 3n$, скорость $v_b = v$

Найти:

a) Новую силу тяги $F_a$
б) Новую силу тяги $F_b$

Решение:

Чтобы скорость ракеты оставалась постоянной, сила тяги двигателя $\text{F}$ должна уравновешивать силу сопротивления среды (пылевого облака) $F_{сопр}$. Сила сопротивления возникает из-за того, что ракета при движении постоянно сталкивается с пылинками и передает им свой импульс, так как столкновения неупругие (пылинки прилипают).

Найдем силу сопротивления. За малый промежуток времени $\text{dt}$ ракета проходит расстояние $dl = v \cdot dt$. Объем, который "очищает" ракета за это время, равен $dV = S \cdot dl = S \cdot v \cdot dt$, где $\text{S}$ – площадь поперечного сечения ракеты.

Масса пылинок $\text{dm}$, находящихся в этом объеме, равна $dm = m_0 \cdot n \cdot dV = m_0 \cdot n \cdot S \cdot v \cdot dt$, где $\text{n}$ – концентрация пылинок, а $m_0$ – масса одной пылинки.

До столкновения пылинки покоились (их импульс был равен нулю в системе отсчета облака). После столкновения они прилипают к ракете и движутся с ней со скоростью $\text{v}$. Приращение импульса этой массы пылинок равно $dp = (dm) \cdot v - 0 = (m_0 \cdot n \cdot S \cdot v \cdot dt) \cdot v$.

Согласно второму закону Ньютона, сила, с которой ракета действует на пылинки, равна скорости изменения их импульса $F' = \frac{dp}{dt}$. По третьему закону Ньютона, сила сопротивления, действующая на ракету со стороны пылинок, равна по модулю и противоположна по направлению:

$F_{сопр} = F' = \frac{dp}{dt} = \frac{m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2 \cdot dt}{dt} = m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2$

Для поддержания постоянной скорости сила тяги должна быть равна силе сопротивления:

$F = F_{сопр} = m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2$

Это выражение показывает, что сила тяги пропорциональна концентрации частиц и квадрату скорости. Используем его для решения подпунктов задачи.

а) ракета влетела в то же облако со скоростью 2v

В этом случае скорость ракеты $v_a = 2v$. Концентрация $\text{n}$, масса пылинок $m_0$ и площадь сечения $\text{S}$ остаются теми же. Новая сила тяги $F_a$ будет равна новой силе сопротивления:

$F_a = m_0 \cdot n \cdot S \cdot (v_a)^2 = m_0 \cdot n \cdot S \cdot (2v)^2 = 4 \cdot (m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2)$

Так как $F = m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2$, то:

$F_a = 4F$

Ответ: Сила тяги должна быть равна $\text{4F}$.

б) влетела со скоростью v в другое облако, где концентрация частиц в три раза больше

В этом случае скорость ракеты остается прежней, $v_b = v$, а концентрация частиц становится $n_b = 3n$. Новая сила тяги $F_b$ будет равна:

$F_b = m_0 \cdot n_b \cdot S \cdot (v_b)^2 = m_0 \cdot (3n) \cdot S \cdot v^2 = 3 \cdot (m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2)$

Так как $F = m_0 \cdot n \cdot S \cdot v^2$, то:

$F_b = 3F$

Ответ: Сила тяги должна быть равна $\text{3F}$.