Номер 4.9, страница 21 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.9, страница 21.

Условие.

4.9. Какую скорость $\text{v}$ приобретет тележка (см. рисунок), если в нее соскользнет с ледяного холма камень? Трением можно пренебречь.

К задаче 4.9

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса камня: $\text{m}$

Масса тележки: $\text{M}$

Высота холма: $\text{H}$

Угол наклона холма к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Скорость тележки $\text{v}$ после попадания в нее камня.

Решение:

Задачу можно решить в два этапа: сначала найти скорость камня у подножия холма, а затем применить закон сохранения импульса для системы "камень-тележка".

1. На первом этапе, когда камень соскальзывает с ледяного холма, его полная механическая энергия сохраняется, так как трением можно пренебречь. В начальный момент на высоте $\text{H}$ камень покоится, его скорость равна нулю, а энергия является потенциальной: $E_{нач} = mgH$. В конце спуска, у подножия холма (примем этот уровень за нулевой), вся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию: $E_{кон} = \frac{1}{2}mv_1^2$, где $v_1$ — скорость камня в этот момент.

Из закона сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$ следует:

$mgH = \frac{1}{2}mv_1^2$

Отсюда находим скорость камня $v_1$:

$v_1 = \sqrt{2gH}$

Эта скорость направлена по касательной к траектории, то есть вдоль склона холма под углом $\alpha$ к горизонту.

2. На втором этапе происходит абсолютно неупругое столкновение камня с тележкой, в результате которого они движутся вместе. Для системы "камень + тележка" в горизонтальном направлении нет внешних сил (трением тележки о землю пренебрегаем). Следовательно, в проекции на горизонтальную ось сохраняется суммарный импульс системы.

Импульс системы до столкновения в проекции на горизонтальную ось равен горизонтальной составляющей импульса камня, так как тележка была неподвижна. Горизонтальная составляющая скорости камня равна $v_{1x} = v_1 \cos{\alpha}$.

$p_{x, до} = m v_{1x} + M \cdot 0 = m v_1 \cos{\alpha}$

После столкновения камень и тележка движутся как единое целое с общей массой $(m+M)$ и искомой скоростью $\text{v}$. Их импульс после столкновения:

$p_{x, после} = (m+M)v$

По закону сохранения импульса $p_{x, до} = p_{x, после}$:

$m v_1 \cos{\alpha} = (m+M)v$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для скорости $v_1$:

$m \sqrt{2gH} \cos{\alpha} = (m+M)v$

Выразим отсюда конечную скорость тележки $\text{v}$:

$v = \frac{m \cos{\alpha} \sqrt{2gH}}{m+M}$

Ответ: $v = \frac{m \cos{\alpha} \sqrt{2gH}}{m+M}$.