Номер 4.14, страница 21 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.14, страница 21.

Условие.

4.14. Убив гигантскую змею, я вытянул ее поперек дороги (см. рисунок), измерил и взвесил. Длина ее оказалась $\text{L}$, масса $\text{M}$. Чтобы освободить дорогу, мне пришлось перетащить змею на траву. Какую работу я при этом совершил? Коэффициент трения змеи о дорогу $\mu_1$, о траву — $\mu_2$. При перетаскивании змеи я прикладывал горизонтальную силу вдоль тела змеи.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина змеи: $\text{L}$

Масса змеи: $\text{M}$

Коэффициент трения змеи о дорогу: $\mu_1$

Коэффициент трения змеи о траву: $\mu_2$

Найти:

Работу по перетаскиванию змеи $\text{A}$.

Решение:

Работа $\text{A}$, которую необходимо совершить, равна работе против суммарной силы трения. Поскольку в процессе перетаскивания змеи с дороги на траву сила трения постоянно меняется (так как меняются части змеи, находящиеся на разных поверхностях), для нахождения работы необходимо использовать интегрирование.

Введем координату $\text{x}$, которая будет обозначать длину части змеи, уже перемещенной на траву. Процесс начинается при $x = 0$ (голова змеи у края травы) и заканчивается при $x = L$ (вся змея на траве).

Предполагая, что змея однородна, ее линейная плотность массы составляет $\lambda = \frac{M}{L}$.

В произвольный момент, когда часть змеи длиной $\text{x}$ находится на траве, ее масса составляет $m_{трава} = \lambda x = \frac{M}{L}x$.

Оставшаяся часть змеи длиной $(L-x)$ находится на дороге, и ее масса равна $m_{дорога} = \lambda (L-x) = \frac{M}{L}(L-x)$.

Так как змею тянут по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции для каждой части равна ее весу. Сила трения для части на дороге:

$F_{тр1} = \mu_1 N_{дорога} = \mu_1 m_{дорога} g = \mu_1 g \frac{M}{L}(L-x)$

Сила трения для части на траве:

$F_{тр2} = \mu_2 N_{трава} = \mu_2 m_{трава} g = \mu_2 g \frac{M}{L}x$

Суммарная сила трения $F(x)$, которую необходимо преодолевать в данный момент, является суммой этих двух сил:

$F(x) = F_{тр1} + F_{тр2} = \mu_1 g \frac{M}{L}(L-x) + \mu_2 g \frac{M}{L}x$

Вынесем общий множитель за скобки:

$F(x) = \frac{Mg}{L} \left( \mu_1(L-x) + \mu_2 x \right)$

Работа, совершаемая для перемещения змеи, вычисляется как интеграл от силы $F(x)$ по перемещению $\text{dx}$ от $x=0$ до $x=L$:

$A = \int_{0}^{L} F(x) dx = \int_{0}^{L} \frac{Mg}{L} \left( \mu_1(L-x) + \mu_2 x \right) dx$

$A = \frac{Mg}{L} \int_{0}^{L} \left( \mu_1 L - \mu_1 x + \mu_2 x \right) dx = \frac{Mg}{L} \int_{0}^{L} \left( \mu_1 L + (\mu_2 - \mu_1)x \right) dx$

Вычислим интеграл:

$A = \frac{Mg}{L} \left[ \mu_1 L x + (\mu_2 - \mu_1) \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}$

Подставляем пределы интегрирования:

$A = \frac{Mg}{L} \left( \left( \mu_1 L \cdot L + (\mu_2 - \mu_1) \frac{L^2}{2} \right) - \left( 0 \right) \right)$

$A = \frac{Mg}{L} \left( \mu_1 L^2 + \frac{\mu_2 L^2}{2} - \frac{\mu_1 L^2}{2} \right)$

$A = \frac{Mg}{L} \left( \frac{\mu_1 L^2}{2} + \frac{\mu_2 L^2}{2} \right)$

$A = \frac{MgL^2}{2L} (\mu_1 + \mu_2)$

После сокращения $\text{L}$ получаем конечную формулу:

$A = \frac{MgL(\mu_1 + \mu_2)}{2}$

Этот результат можно интерпретировать как работу, совершаемую против средней силы трения. Сила трения в начале процесса равна $F(0) = \mu_1 Mg$, а в конце $F(L) = \mu_2 Mg$. Поскольку сила трения изменяется линейно, средняя сила равна $\frac{F(0) + F(L)}{2} = \frac{\mu_1 Mg + \mu_2 Mg}{2}$. Работа тогда равна средней силе, умноженной на расстояние $\text{L}$, что и дает полученный результат.

Ответ: $A = \frac{MgL(\mu_1 + \mu_2)}{2}$