Номер 4.1, страница 20 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.1, страница 20.

Условие.

4.1. Мяч массой $m = 300 \text{ г}$ упал с высоты $H = 1,23 \text{ м}$ на асфальт и подскочил на ту же высоту. Продолжительность удара об асфальт $t = 0,1 \text{ с}$. Найдите среднюю силу удара $F_{\text{cp}}$. Как изменится эта сила, если мяч ударится о твердую поверхность, наклоненную под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту? Какой будет $F_{\text{cp}}$, если в обоих случаях мяч заменить пластилиновым шаром той же массы? Продолжительность удара считайте той же.

Решение.

Решение 2.

Дано:

m = 300 г
H = 1,23 м
t = 0,1 с
α = 30°
g ≈ 9,8 м/с²

Перевод в систему СИ:
m = 0,3 кг

Найти:

1. Fср при ударе об асфальт.
2. Как изменится Fср при ударе о наклонную поверхность.
3. Fср для пластилинового шара в обоих случаях.

Решение:

Для всех случаев сначала найдем скорость мяча непосредственно перед ударом о поверхность. Используя закон сохранения энергии, потенциальная энергия на высоте $\text{H}$ переходит в кинетическую энергию перед ударом:

$m g H = \frac{1}{2} m v^2$

Отсюда скорость $\text{v}$ равна:

$v = \sqrt{2 g H} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,23 \, \text{м}} = \sqrt{24,108} \, \text{м/с} \approx 4,91 \, \text{м/с}$

Средняя сила удара $F_{ср}$ (сила реакции опоры) связана с изменением импульса $\Delta p$ через второй закон Ньютона в импульсной форме. В течение времени удара $\text{t}$ на мяч действуют сила реакции опоры $F_{ср}$ (направлена от поверхности) и сила тяжести $m\vec{g}$. Выберем ось, направленную перпендикулярно поверхности (нормаль), и спроецируем на нее силы и изменение импульса:

$(F_{ср} - F_{g \perp}) \cdot t = \Delta p_\perp$

где $F_{g \perp}$ — проекция силы тяжести на нормаль к поверхности, а $\Delta p_\perp$ — изменение проекции импульса на эту нормаль.

1. Найдите среднюю силу удара Fср.

В данном случае мяч падает на горизонтальную поверхность (асфальт) и подпрыгивает на ту же высоту. Это означает, что удар упругий, и скорость после удара $v'$ равна по модулю скорости до удара $\text{v}$, но направлена в противоположную сторону. Ось направим вертикально вверх.

Начальный импульс (перед ударом): $p_1 = -mv$.

Конечный импульс (после удара): $p_2 = mv$.

Изменение импульса: $\Delta p = p_2 - p_1 = mv - (-mv) = 2mv$.

Сила тяжести направлена против оси, ее проекция на нормаль (вертикальную ось) $F_{g \perp} = mg$.

Подставляем в формулу:

$(F_{ср} - mg) \cdot t = 2mv$

$F_{ср} = \frac{2mv}{t} + mg$

Выполним расчет:

$F_{ср} = \frac{2 \cdot 0,3 \, \text{кг} \cdot 4,91 \, \text{м/с}}{0,1 \, \text{с}} + 0,3 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 29,46 \, \text{Н} + 2,94 \, \text{Н} = 32,4 \, \text{Н}$

Ответ: Средняя сила удара равна 32,4 Н.

2. Как изменится эта сила, если мяч ударится о твердую поверхность, наклоненную под углом α = 30° к горизонту?

При ударе о наклонную поверхность сила реакции опоры $F_{ср}$ направлена перпендикулярно (нормально) к этой поверхности. Рассмотрим изменение импульса и силы в направлении этой нормали. Скорость $\text{v}$ перед ударом направлена вертикально вниз. Ее проекция на нормаль к наклонной поверхности равна $v_\perp = v \cos \alpha$.

Поскольку удар упругий, нормальная составляющая скорости после удара меняет направление на противоположное, оставаясь равной по модулю. Изменение импульса в направлении нормали:

$\Delta p_\perp = m v_\perp - (-m v_\perp) = 2mv_\perp = 2mv \cos \alpha$

Проекция силы тяжести на нормаль к поверхности равна $F_{g \perp} = mg \cos \alpha$.

Импульсная форма второго закона Ньютона для нормального направления:

$(F_{ср}' - mg \cos \alpha) \cdot t = 2mv \cos \alpha$

$F_{ср}' = \frac{2mv \cos \alpha}{t} + mg \cos \alpha = (\frac{2mv}{t} + mg) \cos \alpha$

Видно, что новая сила удара $F_{ср}'$ связана с силой из первого пункта $F_{ср}$ соотношением $F_{ср}' = F_{ср} \cos \alpha$.

Поскольку $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$, что меньше единицы, сила удара уменьшится.

Рассчитаем ее значение:

$F_{ср}' = 32,4 \, \text{Н} \cdot \cos(30°) \approx 32,4 \, \text{Н} \cdot 0,866 \approx 28,1 \, \text{Н}$

Ответ: Сила уменьшится в $\cos(30°) \approx 0,866$ раз и станет равной примерно 28,1 Н.

3. Какой будет Fср, если в обоих случаях мяч заменить пластилиновым шаром той же массы?

Удар пластилинового шара о поверхность является абсолютно неупругим. Это означает, что после удара шар останавливается, его конечная скорость равна нулю.

Случай 1: Удар о горизонтальную поверхность.

Начальный импульс $p_1 = -mv$, конечный импульс $p_2 = 0$.

Изменение импульса: $\Delta p = p_2 - p_1 = 0 - (-mv) = mv$.

Сила удара:

$(F_{ср} - mg) \cdot t = mv$

$F_{ср} = \frac{mv}{t} + mg$

Выполним расчет:

$F_{ср} = \frac{0,3 \, \text{кг} \cdot 4,91 \, \text{м/с}}{0,1 \, \text{с}} + 0,3 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 14,73 \, \text{Н} + 2,94 \, \text{Н} = 17,67 \, \text{Н} \approx 17,7 \, \text{Н}$

Случай 2: Удар о наклонную поверхность.

При неупругом ударе о наклонную поверхность нормальная составляющая скорости становится равной нулю (шар "прилипает"). Рассматриваем силу реакции опоры (нормальную силу).

Изменение импульса в направлении нормали: $\Delta p_\perp = 0 - (-mv_\perp) = mv_\perp = mv \cos \alpha$.

Проекция силы тяжести на нормаль: $F_{g \perp} = mg \cos \alpha$.

Сила удара:

$(F_{ср}' - mg \cos \alpha) \cdot t = mv \cos \alpha$

$F_{ср}' = \frac{mv \cos \alpha}{t} + mg \cos \alpha = (\frac{mv}{t} + mg) \cos \alpha$

Сила удара для пластилинового шара на наклонной поверхности также в $\cos \alpha$ раз меньше, чем на горизонтальной.

$F_{ср}' = 17,67 \, \text{Н} \cdot \cos(30°) \approx 17,67 \, \text{Н} \cdot 0,866 \approx 15,3 \, \text{Н}$

Ответ: Для пластилинового шара средняя сила удара о горизонтальную поверхность составит 17,7 Н, а о наклонную — 15,3 Н.