Номер 4.22, страница 22 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.22, страница 22.

Условие.

4.22. Автомобиль поднимается по склону со скоростью $v = 60 \text{ км/ч}$. Спускаясь по тому же склону с выключенным мотором, он движется равномерно с той же скоростью. Какую мощность $\text{P}$ развивает двигатель на подъеме? Уклон равен 0,05. Масса автомобиля $m = 2 \text{ т}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость автомобиля $v = 60$ км/ч
Масса автомобиля $m = 2$ т
Уклон склона $k = 0,05$

Переведем данные в систему СИ:
$v = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3}$ м/с
$m = 2 \text{ т} = 2 \cdot 1000 \text{ кг} = 2000$ кг
Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$.

Найти:

Мощность двигателя $\text{P}$.

Решение:

Задача рассматривает два случая движения автомобиля с постоянной скоростью: спуск с выключенным двигателем и подъем с работающим двигателем. Согласно первому закону Ньютона, при равномерном движении равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

1. Движение на спуске с выключенным двигателем.
На автомобиль действуют силы, проекции которых на ось, параллельную склону, уравновешивают друг друга. Это скатывающая составляющая силы тяжести $F_{g\parallel}$, направленная вниз по склону, и сила сопротивления движению $F_{сопр}$ (включающая трение качения и сопротивление воздуха), направленная вверх по склону.
Условие равновесия: $F_{g\parallel} - F_{сопр} = 0$.
Отсюда $F_{сопр} = F_{g\parallel}$.
Скатывающая сила равна $F_{g\parallel} = mg \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол наклона склона.
Уклон $\text{k}$ для малых углов можно считать равным синусу угла наклона: $k \approx \sin\alpha$.
Таким образом, сила сопротивления равна: $F_{сопр} = mgk$.

2. Движение на подъеме с работающим двигателем.
При подъеме с той же скоростью сила сопротивления $F_{сопр}$ остается прежней по величине, но теперь она направлена вниз по склону (против движения). Скатывающая составляющая силы тяжести $F_{g\parallel}$ также направлена вниз по склону. Сила тяги двигателя $F_{тяги}$ направлена вверх по склону.
Условие равновесия: $F_{тяги} - F_{g\parallel} - F_{сопр} = 0$.
Отсюда находим силу тяги: $F_{тяги} = F_{g\parallel} + F_{сопр}$.
Подставляя ранее найденные выражения для сил, получаем:
$F_{тяги} = mgk + mgk = 2mgk$.

3. Расчет мощности двигателя.
Мощность $\text{P}$, развиваемая двигателем, вычисляется как произведение силы тяги на скорость движения:
$P = F_{тяги} \cdot v$.
Подставим выражение для силы тяги:
$P = 2mgkv$.

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:
$P = 2 \cdot 2000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,05 \cdot \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
$P = 1960 \text{ Н} \cdot \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{98000}{3} \text{ Вт} \approx 32667 \text{ Вт}$.

Переведем результат в киловатты, разделив на 1000:
$P \approx 32,7 \text{ кВт}$.

Ответ: мощность, которую развивает двигатель на подъеме, составляет $P \approx 32,7 \text{ кВт}$.