Номер 5.17, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.17, страница 29.

Условие.

5.17. К стержню длиной $l = 120$ см и массой $m = 8$ кг подвешены два груза: к левому концу — весом $P_1 = 30$ Н, а к правому — весом $P_2 = 90$ Н. Стержень подвесили горизонтально на одной нити так, что он находится в равновесии. Где находится точка подвеса?

Решение.

Решение 2.

Дано

$l = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$

$m = 8 \text{ кг}$

$P_1 = 30 \text{ Н}$

$P_2 = 90 \text{ Н}$

Найти:

$\text{x}$ — расстояние от левого конца стержня до точки подвеса.

Решение

Стержень находится в равновесии, следовательно, сумма моментов всех сил, действующих на него, относительно любой точки равна нулю. Выберем в качестве точки вращения левый конец стержня, к которому подвешен груз с весом $P_1$.

На стержень действуют следующие силы:

1. Вес первого груза $P_1$, приложенный к левому концу (плечо силы равно 0).

2. Вес второго груза $P_2$, приложенный к правому концу (плечо силы равно $\text{l}$).

3. Сила тяжести самого стержня $P_c$, приложенная к его центру масс (в середине стержня, т.к. он однородный). Плечо этой силы равно $l/2$.

4. Сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх и приложенная в точке подвеса. Плечо этой силы равно $\text{x}$.

Найдем силу тяжести стержня, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$:

$P_c = m \cdot g = 8 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 80 \text{ Н}$

Силы $P_c$ и $P_2$ создают вращающий момент по часовой стрелке. Сила натяжения нити $\text{T}$ создает вращающий момент против часовой стрелки. По правилу моментов, сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки:

$M_{против} = M_{по}$

$T \cdot x = P_c \cdot \frac{l}{2} + P_2 \cdot l$

Для равновесия также необходимо, чтобы сумма всех вертикальных сил была равна нулю. Сила натяжения нити $\text{T}$ уравновешивает все силы, направленные вниз:

$T = P_1 + P_c + P_2$

$T = 30 \text{ Н} + 80 \text{ Н} + 90 \text{ Н} = 200 \text{ Н}$

Подставим значение силы $\text{T}$ в уравнение моментов и выразим $\text{x}$:

$(P_1 + P_c + P_2) \cdot x = P_c \cdot \frac{l}{2} + P_2 \cdot l$

$x = \frac{P_c \cdot \frac{l}{2} + P_2 \cdot l}{P_1 + P_c + P_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$x = \frac{80 \text{ Н} \cdot \frac{1.2 \text{ м}}{2} + 90 \text{ Н} \cdot 1.2 \text{ м}}{30 \text{ Н} + 80 \text{ Н} + 90 \text{ Н}} = \frac{80 \cdot 0.6 + 90 \cdot 1.2}{200} \text{ м}$

$x = \frac{48 + 108}{200} \text{ м} = \frac{156}{200} \text{ м} = 0.78 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$x = 0.78 \text{ м} = 78 \text{ см}$

Ответ: точка подвеса находится на расстоянии 78 см от левого конца стержня.