Номер 5.20, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.20, страница 29.

Условие.

5.20. В доске сделали лунку и положили в нее шар (см. рисунок). Глубина лунки в два раза меньше радиуса шара. На какой угол $ \alpha $ нужно наклонить доску, чтобы шар выскочил из лунки?

К задаче 5.20

Решение.

Решение 2.

Дано:

Глубина лунки $\text{h}$ в два раза меньше радиуса шара $\text{R}$.

$h = \frac{R}{2}$

Найти:

$α$ — угол наклона доски.

Решение:

Шар выскочит из лунки в тот момент, когда центр тяжести шара (его геометрический центр $\text{O}$) окажется на одной вертикальной линии с точкой опоры, которой является край лунки (точка $\text{A}$). При дальнейшем увеличении угла наклона момент силы тяжести относительно точки $\text{A}$ станет выталкивающим.

Таким образом, в предельном положении, когда шар готов выскочить, линия, соединяющая центр шара $\text{O}$ и край лунки $\text{A}$ (отрезок $\text{OA}$), будет расположена вертикально.

Угол наклона доски $α$ к горизонтали равен углу между перпендикуляром (нормалью) к доске и вертикалью.

Рассмотрим сечение системы плоскостью, проходящей через центр шара $\text{O}$ и перпендикулярной к доске. В этом сечении мы получим прямоугольный треугольник $OAC$, где:

• $\text{O}$ — центр шара;

• $\text{A}$ — край лунки (точка опоры);

• $\text{C}$ — проекция центра шара $\text{O}$ на плоскость доски.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $\text{OA}$ равна радиусу шара: $OA = R$.

• Катет $\text{OC}$ — это расстояние от центра шара до плоскости доски. Оно равно радиусу шара минус глубина лунки: $OC = R - h$.

Используя данные из условия задачи ($h = \frac{R}{2}$), найдем длину катета $\text{OC}$:

$OC = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$

Так как в предельном положении отрезок $\text{OA}$ является вертикалью, а отрезок $\text{OC}$ — нормалью к доске, искомый угол наклона доски $α$ будет равен углу $\angle AOC$ в нашем треугольнике.

Найдем косинус этого угла из прямоугольного треугольника $OAC$:

$\cos(α) = \cos(\angle AOC) = \frac{OC}{OA}$

Подставим найденные значения:

$\cos(α) = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем сам угол $α$:

$α = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$

Ответ: для того чтобы шар выскочил из лунки, доску нужно наклонить на угол $60^{\circ}$.