Номер 5.21, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.21, страница 29.

Условие.

5.21. На конце вала, проходящего через подшипники А и В (см. рисунок), укреплен диск С. Масса вала 7 кг, масса диска 28 кг, $AB = 70 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$. Чему равны силы давления вала на подшипники А и В?

К задаче 5.21

Решение.

Решение 2.

Дано

Масса вала $m_в = 7$ кг
Масса диска $m_д = 28$ кг
Расстояние $AB = 70$ см
Расстояние $BC = 10$ см
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$L_{AB} = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$
$L_{BC} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$F_A$ - ?
$F_B$ - ?

Решение

Система, состоящая из вала и диска, находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что должны выполняться два условия:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на систему, равна нулю.
2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю.

На вал действуют следующие силы:

• Сила тяжести вала $P_в = m_в g$, приложенная к его центру масс. Считая вал однородным, его центр масс находится посередине. Полная длина вала $L_{AC} = L_{AB} + L_{BC} = 0.7 \text{ м} + 0.1 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$. Следовательно, центр масс вала находится на расстоянии $L_{AC}/2 = 0.4 \text{ м}$ от точки А.
• Сила тяжести диска $P_д = m_д g$, приложенная в точке С.
• Силы реакции подшипников $R_A$ и $R_B$, направленные вертикально.

Согласно третьему закону Ньютона, силы давления вала на подшипники ($F_A$ и $F_B$) равны по модулю и противоположны по направлению силам реакции подшипников ($R_A$ и $R_B$). Таким образом, $F_A = |R_A|$ и $F_B = |R_B|$.

Для нахождения сил реакций воспользуемся правилом моментов. Выберем в качестве оси вращения точку А. В этом случае момент силы $R_A$ будет равен нулю. Силы тяжести $P_в$ и $P_д$ создают вращающий момент по часовой стрелке (будем считать его отрицательным), а сила реакции $R_B$ создает момент против часовой стрелки (положительный).

Уравнение моментов относительно точки А:

$\sum M_A = R_B \cdot L_{AB} - P_в \cdot \frac{L_{AC}}{2} - P_д \cdot L_{AC} = 0$

Выразим отсюда силу реакции $R_B$:

$R_B \cdot L_{AB} = P_в \cdot \frac{L_{AC}}{2} + P_д \cdot L_{AC}$

$R_B = \frac{m_в g \cdot (L_{AC}/2) + m_д g \cdot L_{AC}}{L_{AB}}$

Подставим числовые значения:

$R_B = \frac{7 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м} + 28 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.8 \text{ м}}{0.7 \text{ м}} = \frac{28 \text{ Н} \cdot \text{м} + 224 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.7 \text{ м}} = \frac{252 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.7 \text{ м}} = 360 \text{ Н}$

Теперь используем первое условие равновесия. Спроецируем все силы на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$\sum F_y = R_A + R_B - P_в - P_д = 0$

Выразим силу реакции $R_A$:

$R_A = P_в + P_д - R_B = m_в g + m_д g - R_B$

Подставим значения:

$R_A = (7 \text{ кг} + 28 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2 - 360 \text{ Н} = 35 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 - 360 \text{ Н} = 350 \text{ Н} - 360 \text{ Н} = -10 \text{ Н}$

Отрицательное значение $R_A$ означает, что сила реакции подшипника А направлена вниз, то есть подшипник удерживает вал от подъема. Соответственно, сила давления вала на подшипник А направлена вверх.

Находим модули сил давления:

$F_A = |R_A| = |-10 \text{ Н}| = 10 \text{ Н}$

$F_B = |R_B| = |360 \text{ Н}| = 360 \text{ Н}$

Ответ: сила давления вала на подшипник А равна 10 Н, на подшипник B — 360 Н.