Номер 5.48, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.48, страница 33.

Условие.

5.48*. Докажите, что центр тяжести плоской однородной треугольной пластины находится в точке пересечения медиан.

Решение.

Решение 2.

5.48*</strong> Решение

Центр тяжести однородного тела совпадает с его центром масс. Для доказательства положения центра масс плоской однородной треугольной пластины воспользуемся методом симметрии, разбив треугольник на элементарные части.

1. Разобьем мысленно треугольник $ABC$ на бесконечное множество очень тонких полосок, параллельных одной из его сторон, например, стороне $\text{BC}$.

2. Поскольку пластина однородная, то каждая такая полоска (которую можно считать одномерным стержнем или очень узким прямоугольником) имеет центр масс, расположенный точно в ее геометрическом центре, то есть на ее середине.

3. Совокупность середин всех этих полосок, параллельных стороне $\text{BC}$, образует медиану треугольника, проведенную из вершины $\text{A}$ к стороне $\text{BC}$. Обозначим эту медиану $AM_1$. Так как центр масс каждой элементарной полоски лежит на этой медиане, то и центр масс всего треугольника, как совокупности этих полосок, должен лежать на медиане $AM_1$.

4. Теперь повторим рассуждение, разбив тот же треугольник на тонкие полоски, но уже параллельные другой стороне, например, $\text{AC}$. Аналогично, центры масс этих полосок будут лежать на медиане, проведенной из вершины $\text{B}$ к стороне $\text{AC}$. Обозначим ее $BM_2$. Следовательно, центр масс всего треугольника должен также лежать и на этой второй медиане.

5. Поскольку центр масс треугольника должен одновременно принадлежать и медиане $AM_1$, и медиане $BM_2$, он может находиться только в точке их пересечения.

Как известно из курса геометрии, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Таким образом, проведя аналогичные рассуждения для третьей медианы $CM_3$ (проведенной к стороне $\text{AB}$), мы придем к тому же выводу: центр масс должен лежать и на ней.

Следовательно, центр тяжести (центр масс) плоской однородной треугольной пластины находится в единственной общей точке всех трех медиан, то есть в точке их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр тяжести плоской однородной треугольной пластины находится в точке пересечения медиан, так как эта точка является центром масс для любой из трех возможных систем параллельных полос, на которые можно разбить треугольник, и, следовательно, для всего треугольника.