Номер 5.45, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.45, страница 33.

Условие.

5.45. Одна треть цилиндрического стержня изготовлена из меди, а две трети — из алюминия (см. рисунок). В какой части стержня расположен его центр тяжести?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина медной части стержня: $l_м = \frac{1}{3}L$

Длина алюминиевой части стержня: $l_а = \frac{2}{3}L$

Плотность меди (справочное значение): $ρ_м = 8900$ кг/м³

Плотность алюминия (справочное значение): $ρ_а = 2700$ кг/м³

Найти:

Положение центра тяжести стержня $x_ц$.

Решение:

Центр тяжести совпадает с центром масс, так как можно считать, что стержень находится в однородном поле тяжести. Расположим стержень вдоль оси $\text{Ox}$, так чтобы начало координат ($x=0$) совпадало со свободным концом медной части стержня.

Координата центра масс системы, состоящей из двух тел, определяется по формуле:

$x_ц = \frac{m_м x_м + m_а x_а}{m_м + m_а}$

где $m_м$ и $m_а$ — массы медной и алюминиевой частей, а $x_м$ и $x_а$ — координаты их центров масс.

Определим массы частей стержня. Пусть $\text{S}$ — площадь поперечного сечения стержня, а $\text{L}$ — его полная длина.

Масса медной части:

$m_м = ρ_м V_м = ρ_м \cdot S \cdot l_м = ρ_м S \frac{L}{3}$

Масса алюминиевой части:

$m_а = ρ_а V_а = ρ_а \cdot S \cdot l_а = ρ_а S \frac{2L}{3}$

Центры масс каждой однородной части находятся в их геометрических центрах.

Координата центра масс медной части (которая простирается от $\text{0}$ до $L/3$):

$x_м = \frac{l_м}{2} = \frac{L/3}{2} = \frac{L}{6}$

Координата центра масс алюминиевой части (которая простирается от $L/3$ до $\text{L}$):

$x_а = l_м + \frac{l_а}{2} = \frac{L}{3} + \frac{2L/3}{2} = \frac{L}{3} + \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для центра масс всего стержня:

$x_ц = \frac{(ρ_м S \frac{L}{3}) \cdot \frac{L}{6} + (ρ_а S \frac{2L}{3}) \cdot \frac{2L}{3}}{ρ_м S \frac{L}{3} + ρ_а S \frac{2L}{3}}$

Можно сократить общий множитель $S \frac{L}{3}$:

$x_ц = \frac{ρ_м \frac{L}{6} + 2ρ_а \frac{2L}{3}}{ρ_м + 2ρ_а} = \frac{\frac{ρ_м L}{6} + \frac{4ρ_а L}{9}}{ρ_м + 2ρ_а}$

Вынесем $\text{L}$ за скобки и приведем дроби в числителе к общему знаменателю 18:

$x_ц = L \cdot \frac{\frac{3ρ_м + 8ρ_а}{18}}{ρ_м + 2ρ_а} = L \cdot \frac{3ρ_м + 8ρ_а}{18(ρ_м + 2ρ_а)}$

Подставим числовые значения плотностей меди и алюминия:

$x_ц = L \cdot \frac{3 \cdot 8900 + 8 \cdot 2700}{18(8900 + 2 \cdot 2700)} = L \cdot \frac{26700 + 21600}{18(8900 + 5400)} = L \cdot \frac{48300}{18 \cdot 14300} = L \cdot \frac{483}{2574}$

$x_ц \approx 0.188 L$

Медная часть стержня занимает отрезок от $x=0$ до $x = L/3 \approx 0.333 L$.

Поскольку полученная координата центра тяжести $x_ц \approx 0.188 L$ удовлетворяет условию $0 < x_ц < L/3$, то центр тяжести находится в медной части стержня.

Ответ:

Центр тяжести стержня расположен в его медной части на расстоянии приблизительно $0.188$ от полной длины стержня, если считать от свободного конца медной части.