Номер 1.59, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.59, страница 12.

Условие.

1.59*. С высоты $\text{H}$ на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, падает мяч. Найдите расстояния между местами 1-го и 2-го, 2-го и 3-го, ..., $\text{n}$-го и $n+1$-го ударов мяча о плоскость. Удары считайте упругими.

Решение.

Решение 2.

Дано

Начальная высота: $\text{H}$

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Удары: абсолютно упругие

Найти:

Расстояние $L_n$ между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м местом удара.

Решение

Для решения задачи введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью. Направим ось $\text{Ox}$ вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно ей вверх. Начало координат поместим в точку первого удара мяча о плоскость.

В этой системе координат проекции ускорения свободного падения $\text{g}$ на оси будут:

$a_x = g \sin\alpha$

$a_y = -g \cos\alpha$

1. Движение до первого удара.

Мяч падает вертикально с высоты $\text{H}$. Время падения $t_0$ находится из условия $H = \frac{1}{2}gt_0^2$, откуда $t_0 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Скорость мяча непосредственно перед первым ударом направлена вертикально вниз и по модулю равна $v_0 = gt_0 = \sqrt{2gH}$.

Разложим эту скорость на компоненты в нашей системе координат. Угол между вектором $v_0$ и осью $\text{Oy}$ равен $\alpha$.

Компонента скорости вдоль оси $\text{Ox}$ (касательная): $v_{0x} = v_0 \sin\alpha = \sqrt{2gH}\sin\alpha$.

Компонента скорости вдоль оси $\text{Oy}$ (нормальная): $v_{0y, \text{перед}} = -v_0 \cos\alpha = -\sqrt{2gH}\cos\alpha$.

2. Первый удар.

Поскольку удар абсолютно упругий, нормальная компонента скорости меняет свой знак на противоположный, а касательная остается без изменений. Скорость мяча сразу после первого удара будет иметь компоненты:

$v_{1x} = v_{0x} = \sqrt{2gH}\sin\alpha$

$v_{1y} = -v_{0y, \text{перед}} = \sqrt{2gH}\cos\alpha$

Эти компоненты являются начальными для движения между первым и вторым ударами.

3. Движение между ударами.

Рассмотрим движение мяча между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м ударами. Пусть мяч отрывается от плоскости в $\text{n}$-й точке со скоростью, имеющей компоненты $v_{nx}$ и $v_{ny}$. Движение по оси $\text{Oy}$ описывается уравнением $y(t) = v_{ny}t + \frac{a_y t^2}{2}$.

Время полета $T_n$ между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м ударами определяется из условия $y(T_n) = 0$.

$v_{ny}T_n - \frac{g\cos\alpha \cdot T_n^2}{2} = 0$

Отсюда, так как $T_n \neq 0$, время полета равно $T_n = \frac{2v_{ny}}{g\cos\alpha}$.

Скорость по оси $\text{Oy}$ перед $(n+1)$-м ударом: $v_{y, \text{перед}} = v_{ny} + a_y T_n = v_{ny} - g\cos\alpha \left(\frac{2v_{ny}}{g\cos\alpha}\right) = -v_{ny}$.

После упругого $(n+1)$-го удара нормальная компонента скорости снова меняет знак: $v_{(n+1)y} = -v_{y, \text{перед}} = v_{ny}$.

Это означает, что начальная нормальная компонента скорости одинакова для всех отскоков: $v_{ny} = v_{(n-1)y} = \dots = v_{1y} = \sqrt{2gH}\cos\alpha$.

Следовательно, время полета между любыми двумя последовательными ударами постоянно:

$T = T_n = \frac{2v_{1y}}{g\cos\alpha} = \frac{2\sqrt{2gH}\cos\alpha}{g\cos\alpha} = 2\sqrt{\frac{2H}{g}}$.

4. Расчет расстояний.

Рассмотрим движение вдоль оси $\text{Ox}$. Начальная скорость для полета после $\text{n}$-го удара равна $v_{nx}$. Скорость перед $(n+1)$-м ударом $v_{x, \text{перед}} = v_{nx} + a_x T$. Так как касательная компонента скорости при ударе не меняется, начальная скорость для следующего полета $v_{(n+1)x} = v_{x, \text{перед}} = v_{nx} + a_x T$.

Таким образом, начальные касательные скорости $v_{1x}, v_{2x}, \dots, v_{nx}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d_v = a_x T$.

Расстояние $L_n$, проходимое мячом вдоль наклонной плоскости между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м ударами, равно:

$L_n = v_{nx} T + \frac{1}{2}a_x T^2$.

Поскольку $v_{nx}$ образуют арифметическую прогрессию, то и $L_n$ также образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее разность $\text{d}$:

$d = L_n - L_{n-1} = (v_{nx} - v_{(n-1)x})T = (a_x T)T = a_x T^2$.

Вычислим значение разности:

$d = (g\sin\alpha) \left(2\sqrt{\frac{2H}{g}}\right)^2 = g\sin\alpha \cdot \frac{8H}{g} = 8H\sin\alpha$.

Теперь найдем первый член прогрессии $L_1$ (расстояние между 1-м и 2-м ударами):

$L_1 = v_{1x}T + \frac{1}{2}a_x T^2 = (\sqrt{2gH}\sin\alpha)\left(2\sqrt{\frac{2H}{g}}\right) + \frac{1}{2}(8H\sin\alpha)$.

$L_1 = 2\sin\alpha \sqrt{4H^2} + 4H\sin\alpha = 4H\sin\alpha + 4H\sin\alpha = 8H\sin\alpha$.

Общая формула для $\text{n}$-го члена арифметической прогрессии: $L_n = L_1 + (n-1)d$.

$L_n = 8H\sin\alpha + (n-1)8H\sin\alpha = (1 + n - 1)8H\sin\alpha = n \cdot 8H\sin\alpha$.

Ответ:

Расстояние $L_n$ между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м ударом определяется формулой:

$L_n = 8nH \sin\alpha$

Таким образом, искомые расстояния образуют арифметическую прогрессию: $8H \sin\alpha, 16H \sin\alpha, 24H \sin\alpha, \dots$