Номер 1.28, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.28, страница 8.

Условие.

1.28. От толчка шарик вкатывается на наклонную плоскость. На расстоянии $l = 30 \text{ см}$ от начала движения шарик побывал дважды: через $t_1 = 1 \text{ с}$ и $t_2 = 2 \text{ с}$ после толчка. Считая движение равноускоренным, найдите начальную скорость $v_0$ и ускорение $\text{a}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 30$ см

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 2$ с

Перевод в систему СИ:

$l = 0.3$ м

Найти:

$v_0$ - начальная скорость

$\text{a}$ - ускорение

Решение:

Движение шарика по наклонной плоскости является равноускоренным. Зависимость координаты от времени для такого движения описывается уравнением:

$x(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $v_0$ – начальная скорость, $\text{a}$ – ускорение. Начало отсчета ($x=0$) совпадает с начальным положением шарика.

По условию задачи, в моменты времени $t_1$ и $t_2$ шарик находился на одном и том же расстоянии $\text{l}$ от начальной точки. Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются корнями одного и того же уравнения для координаты $x(t)=l$:

$l = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Перепишем это уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно времени $\text{t}$ ($At^2 + Bt + C = 0$):

$\frac{a}{2}t^2 + v_0 t - l = 0$

Согласно теореме Виета, для корней $t_1$ и $t_2$ этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = -\frac{v_0}{a/2} = -\frac{2v_0}{a}$

Произведение корней: $t_1 t_2 = \frac{-l}{a/2} = -\frac{2l}{a}$

Используя эти два соотношения, мы можем найти неизвестные $v_0$ и $\text{a}$.

Из второго соотношения (для произведения корней) выразим ускорение $\text{a}$:

$a = -\frac{2l}{t_1 t_2}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$a = -\frac{2 \cdot 0.3 \text{ м}}{1 \text{ с} \cdot 2 \text{ с}} = -\frac{0.6 \text{ м}}{2 \text{ с}^2} = -0.3 \text{ м/с}^2$

Знак минус указывает на то, что ускорение направлено противоположно начальной скорости, то есть движение является равнозамедленным.

Теперь из первого соотношения (для суммы корней) выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$

Подставим найденное значение ускорения $\text{a}$ и известные значения времени:

$v_0 = -\frac{(-0.3 \text{ м/с}^2)(1 \text{ с} + 2 \text{ с})}{2} = \frac{0.3 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с}}{2} = \frac{0.9 \text{ м/с}}{2} = 0.45 \text{ м/с}$

Ответ:

Начальная скорость $v_0 = 0.45$ м/с, ускорение $a = -0.3$ м/с².